40、度约束网络设计算法解析

度约束网络设计算法解析

在网络设计领域，度约束问题是一个重要的研究方向。本文将深入探讨几种度约束网络设计问题的算法，包括度约束 2 - 连通子图问题和最小度 k - 树形图问题。

1. 度约束 Steiner 网络相关定理

对于所有的 (v \in V)，存在多项式时间算法来计算 (c^ ) 和 (\pi^ )，使得 (c^ + \pi^ \leq opt)。对于任意的 (\mu \in (0, 1))，带奖赏收集的度约束 Steiner 网络问题存在多项式时间算法，能计算出子图 (H)，满足 (val(H) \leq \frac{\rho}{1 - \mu}c^ + \frac{1}{\mu}\pi^ ) 且 (deg_H(v) \leq \frac{\alpha}{1 - \mu}b(v) + \beta) 对所有 (v \in V) 成立。

不同学者针对不同的度约束问题取得了一些已知结果，如下表所示：
| 问题类型 | (\rho) | (\alpha) | (\beta) |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 度约束 Steiner 网络（Louis 和 Vishnoi） | 2 | 2 | 2 |
| 度约束 Steiner 森林（Lau 和 Singh） | 2 | 1 | 3 |
| 度约束 Steiner 网络（Lau 和 Singh，(r_{max}) 为最大需求） | 2 | 1 | (6r_{max} + 3) |

在组 Steiner 树问题中，给定根节点 (s) 和节点子集（组）的集合 (P