5、动态规划在极值路由问题中的应用

动态规划在极值路由问题中的应用

1. 问题背景与初步定义

在处理涉及辐射剂量和路径规划的复杂问题时，我们面临着一个具有约束条件和复杂成本函数的极值问题。为了解决这个问题，我们引入了动态规划（Dynamic Programming，DP）的方法。

首先，我们定义了一些基本概念。设 $N$ 是 ${1, N}$ 的所有非空子集的集合，对于 $K \in N$，定义 $\Xi[K] \triangleq {z \in K | (pr_1(z) \in K) \land (pr_2(z) \in K)}$，即 $\Xi[K]$ 是 $K$ 中满足特定条件的元素集合。同时，定义函数 $I: N \to N$ 为 $I(\tilde{K}) \triangleq \tilde{K} \setminus {pr_2(z) : z \in \Xi[\tilde{K}]}$，它用于筛选出 $K$ 中满足特定条件的索引。

接下来，我们引入了可允许的路径概念。对于 $K \in N$，定义 $(I - bi)[K] \triangleq {\alpha \in (bi)[K] | \alpha(m) \in I(\alpha_1(m, |K|)) \ \forall m \in {1, |K|}}$，它表示访问城市 $M_k, k \in K$ 的所有可允许路径的集合。

2. 贝尔曼函数的定义与性质

我们通过贝尔曼函数来解决这个极值问题。首先定义 $v(x, \varnothing) \triangleq f(x) \ \forall x \in X$，其中 $f(x)$ 表示执行器在完成所有工作后移动的剩余辐射剂量估计。

对于 $x \