数论＜2＞——乘法逆元的求法

原创已于 2024-04-08 18:27:30 修改 · 434 阅读

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于 2024-03-18 21:49:48 首次发布

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本文介绍了逆元的概念及其在编程中的几种求解方法，如扩展欧几里得、费马小定理快速幂以及线性求逆元，还提及了一种通过枚举阶乘并递推计算逆元的新方法，并给出了P3811问题的代码示例。

引入

首先，我们来想一个问题:4/2 mod 3=? (⊙o⊙)…多少有点弱智了。很明显，是2。但在实际过程中，每一步都要取模，然后就出问题了。比如你把4拆了，拆成2+2，然后模3，变成1，然后除2，再模3，就成了...... $\frac{1}{2} \:mod \:3$ ？？？？？？？？？？？？？什么玩意儿啊？

所以，我们就需要逆元这个玩意儿。

扩展欧几里得

当 $ax\equiv 1\:(mod\: p)$ ，则称x是a的逆元。这个式子，有点熟悉，同余方程！

于是，我们就可以用扩展欧几里得求逆元了！！！(证明在数论基础中有介绍)

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int res=exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*y;
	return res;
}
int inverse(int n,int mod){
	int x,y;
	int _=exgcd(n,mod,x,y);
	x%=mod;
	if(x<0)
		x+=mod;
	return x;
}

很显然，逆元不止这些求法。

费马小定理(快速幂)

还是那个式子: $ax\equiv 1\: (mod \:p)$ ，然后由费马小定理可得 $ax\equiv a^{p-1}\: (mod \:p)$ 。

所以， $x\equiv a^{p-2} \:(mod \:p)$ 。然后，我们就可以用快速幂求 $a^{p-2}$ ，也就是逆元了。

int fast_pow(int base,int n){
	int res=1;
	while(n){
		if(n&1)
			res=res*base%p;
		base=base*base%p;
		n>>=1;
	}
	return res;
}
int inverse(int x){
	return fast_pow(x,p-2);
}

线性求逆元

由于up太菜，看不懂，只好放个传送门和两张图片了。

一种新方法

这个方法比较有意思。它先枚举出1~n的阶乘，然后只算n的阶乘的逆元。接着从后往前递推，算出1~n的所有阶乘的逆元。怎么算？

首先，我们知道 $(ab)^{-1}\equiv a^{-1}\times b^{-1} \:(mod \:p)$ 。(证明:两边同乘一个ab就结束了)

然后，我们令inv表示阶乘的逆元，f是阶乘，所以就得出了下面这一大坨东西↓

$inv[n]=inverse(f[n])=(n!)^{-1}\equiv n^{-1}\cdot (n-1)^{-1}\cdot ......1^{-1} \: (mod \: p)$

所以我们就得到了 $inv[n-1]\equiv inv[n]\times n \: (mod \: p)$ ，因为n和 $n^{-1}$ 抵消。

SO，根据这个， $inverse(i)=inv[i]\times f[i-1]$ 。\ohhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

一道模板题:P3811

现在就很简单啦，线性求逆元和新方法随你用。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3000005;
long long factorial[maxn],invf[maxn];
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	long long res=exgcd(b,a%b,x,y);
	long long tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*y;
	return res;
}
long long inverse(long long n,long long mod){
	long long x,y;
	long long _=exgcd(n,mod,x,y);
	x%=mod;
	if(x<0)
		x+=mod;
	return x;
}
int main(){
	int n,p;
	cin>>n>>p;
	factorial[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		factorial[i]=factorial[i-1]*i%p;
	invf[n]=inverse(factorial[n],p);
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
		invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<invf[i]*factorial[i-1]%p<<endl;
	return 0;
}

但是要写scanf和printf，不然会T。即使加上了这些↓也会TLE。(亲身经历)

#pragma GCC optimize(3)  //吸氧,O3优化

ios::sync_with_stdio(false);  //cin/cout加速器

当然，求单个逆元也可以用快速幂，都是log级别，随便你。

逆元的应用有很多，具体遇到了再说，就不放在本篇里了。

ok，以上就是本期的全部内容了。我们下期再见！(～￣(OO)￣)ブ

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