【数论基础】—— 乘法逆元

乘法逆元

什么是乘法逆元

我们知道取模是有可加、可减、可乘性的但是唯独没有可除性。

这就意味着当我们想要知道 $\frac{a}{b}\%c=?$ 的时候只能老老实实地先算出 $\frac{a}{b}$。小的数还好，如果是这个呢？
$$C_m^n\%Mod=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}\%Mod=?$$
这不就废了吗？

因此，为了解决这个问题，我们的逆元就闪亮登场了。

逆元的定义

如果 $inv\times b\equiv 1(\mathrm{mod}c)$ 那么我们就称 $inv$ 是 $b$ 在对 $c$ 取模意义下的逆元。

那么逆元是如何解决上述问题的呢？

因为，除以一个数再取模 = 乘上一个数的逆元再取模 这意味着我们可以边算边取模了。

证明：
设 $a/b=k\times c+r$
两边同时乘以 $b$ 得: $a=k\times c\times b+r\times b$
再乘上 $inv$ 得: $a\times inv=k\times c\times b\times inv+r\times b\times inv$
我们知道 $inv\times b\equiv 1(\mathrm{mod}c)$
所以 $a\times inv\equiv k\times c\times b\times inv+r\times b\times inv\equiv k\times c+r(\mathrm{mod}c)$
得证

逆元的求法

既然逆元这么好用，那么我们如何算出一个数的逆元呢？

通用方法

其实逆元的本质就是求解二元一次方程:
$$inv\times b=k\times c+1$$
因为 $k$ 可以为负，所以我们不妨吧这个式子转换为
$$inv\times b+k\times c=1$$
这样就是一个标准的二元一次方程了。

根据裴蜀定理， 这个方程当且仅当 $gcd(b,c)=1$ 的时候有解。
然后就是 扩展欧几里得 的板子了，求出来以后我们一般习惯让逆元是正数。

模数质数的时候

但是上述的方法仍然有些麻烦。有么有别的方法呢？

当模数为质数的时候我们可以利用费马小定理 (欧拉定理的特殊情况）求解, 其实就是
$$a^{\varphi (mod)}\equiv 1(\mathrm{mod}mod)$$
然后因为 $mod$ 为质数，所以 $\varphi (mod)=mod-1$
$$\begin{gathered} a^{mod-1}\equiv 1(\mathrm{mod}mod) \\ a\times a^{mod-2}\equiv 1(\mathrm{mod}mod) \end{gathered}$$
因此我们发现 $a^{mod-2}$ 就是 $a$ 的逆元。

线性递推

有的时候我们要求出从 $1$ 开始的所有数的逆元，一个一个求显然太慢，我们可以递推
inv[i] = (Mod - Mod / i) * inv[Mod % i] % Mod