【SGU495】 Kids and Prizes_n 个盒子里装有礼物,m 个人随机选择礼物,选完之后空盒子放回,问选中的礼物数的期-优快云博客

本文探讨了在n个盒子里装有礼物，m个人随机选择礼物的情况下，通过两种不同的方法来计算选中礼物数量的期望值。第一种方法利用概率论原理直接计算期望值，第二种方法则采用递推公式逐步求解。

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题意：n个盒子里装有礼物，m个人随机选择礼物，选完之后空盒子放回。问选中的礼物数的期望。
题解：
解法一：一个礼物m次不被选中的概率是 $(\frac{n-1}{n})^m$ ，那么不被选的期望就是 $n\times (\frac{n-1}{n})^m$ ,所以用总数减去不被选的期望就是被选中礼物的期望
解法二：也可以用概率求期望，用 $f[i]$ 表示第 $i$ 个人得到礼物的概率，那么如果第 $i-1$ 个人没有得到礼物，那么第 $i$ 个人和第 $i-1$ 个人得到礼物的概率一样；反之，则第 $i$ 个人得到礼物的概率应该是第 $i-1$ 个人得到礼物的概率减去 $\frac{1}{n}$ ，由此可以得到递推式
$f[i]=(1-f[i-1])\times f[i-1]+f[i-1]\times (f[i-1]-\frac{1}{n})$
这道题的思路比较特殊
代码一：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath> 
using namespace std;

int n,m;
double p,ans;

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        p=1.0*(n-1)/n;
        ans=n-n*pow(p,m);
        printf("%.10lf\n",ans);
    }
}

代码二：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath> 
using namespace std;

const int N=100010;
int n,m;
double f[N],ans;

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        f[1]=1,ans=1;
        for(int i=2;i<=m;i++)
            f[i]=(1.0-f[i-1])*f[i-1]+f[i-1]*(f[i-1]-1.0/n),ans+=f[i];
        printf("%.10lf\n",ans); 
    }
    return 0;
}