SGU 495 Kids and Prizes （概率DP基础）

最新推荐文章于 2021-06-18 10:48:14 发布

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本文探讨了n个盒子里装有礼物，m个人依次随机选择礼物的问题，通过两种不同的方法求解最后选中礼物数量的期望值。第一种方法采用动态规划思路；第二种方法则直接计算每个礼物未被选中的概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

n个盒子里装有礼物，m个人依次随机选择礼物，选完之后空盒子放回
问最后选中的礼物数的期望。

题解

(1)

第i个人得到礼物的概率：假如第i-1个人没有得到礼物，那么i得到礼物的概率和i-1一样。
假如第i-1个人得到了礼物，那么i得到礼物的概率是i-1得到礼物概率减去1/n
dp[i]=(1-dp[i-1])*dp[i-1]+dp[i-1]*(dp[i-1]-1.0/n);

(2)

考虑每个"礼物"不被选中的概率是(n-1) / n,

m个人是独立的就是((n-1)/n)^m

那么相反一面得到礼物概率1-((n-1)/n)^m

期望n*(1-((n-1)/n)^m)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n, m;
    while (~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= m; i++)
        {
            //dp[i]=(1-dp[i-1])*dp[i-1]+(dp[i-1]-1.0/n)*dp[i-1];
            dp[i] = (1 - 1.0 / n) * dp[i - 1];
        }
        double ans = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            ans += dp[i];
        }
        printf("%.9lf\n", ans);
    }
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        double p=(double)(n-1)/n;
        double ans=n-n*pow(p,m);
        printf("%.9lf\n",ans);
    }
    return 0;
}