线性代数7——AX=0 主变量 特解

本文介绍了矩阵的秩、自由变量及其与零空间的关系。详细解释了如何通过简化阶梯形式求解特解,并利用自由变量计算零空间的特解个数。

主变量 自由变量 pivot、free variables

  • 这里写图片描述
  • 矩阵的秩——主元的个数
    • rank(A) = 2
  • 自由变量的个数
    • 对于mxn矩阵A,个数为n-rank(A)

特解 计算零空间

  • 方程变为
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  • 特解
    • 枚举每个自由变量,其值为1,其余自由变量为0,计算特解
    • 特解的个数 = 自由变量的个数
  • 零空间
    • 特解的线性组合
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简化阶梯形式

  • reduced row echelon from zeros above and below pivots
  • 将上例简化
    • 这里写图片描述
  • 主变量 自由变量
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  • 零空间矩阵
    • 简化阶梯形式,经过行列变换,得
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    • 由RN=0,得
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### 线性代数中的通解与特解线性代数中,对于线性方程组 \( Ax=b \),其求解过程涉及到找到满足该系统的特定解(即特解),以及描述所有可能解的一般形式(即通解)。当讨论的是齐次线性方程组\(Ax=0\)时,任何非零解都称为这个方程的一个基础解系的一部分;而非齐次线性方程组则不仅有特解还有对应于齐次部分的基础解系构成的通解。 #### 非齐次线性方程组的特解 为了获得非齐次线性方程组 \( Ax=b \) 的一个特解,可以直接应用数值方法来计算。例如,在Python环境中利用`scipy.linalg.solve`函数能够方便地得到这样的特解[^2]: ```python from scipy.linalg import solve A = [[3, 2], [-1, 5]] b = [7, -4] solution_particular = solve(A, b) print(solution_particular) ``` #### 对应齐次方程组的通解 针对给定矩阵 \( A \),可以通过寻找它的核空间或者说是零空间内的向量来构建齐次方程组 \( Ax=0 \) 的基本解集。这些向量形成的空间维度等于未知变量数目减去秩(rank)的数量。一旦获得了基础解系,则整个解空间可通过将各个基底按不同系数组合而成。假设已知一组基底\[v_1,v_2,\ldots , v_k\],那么通解可表示为: \[x_c=c_1v_1+c_2v_2+\cdots +c_kv_k\] 这里 \( c_i \in R \)(实数域), 并且每一个\(v_j(j=1,...k)\)都是齐次方程组的一个独立解。 因此,完整的解表达式将是上述两者的叠加——即将特解加上由齐次方程组产生的任意多个自由度所组成的通解: \[x=x_p+x_c=solution\_particular+c_1v_1+c_2v_2+\cdots +c_kv_k\] 其中 \( x_p \) 表示通过 `solve()` 函数获取到的那个具体的特解矢量。 #### 示例说明 考虑到具体例子,比如下面给出的简单情况下的非齐次线性方程组: \[ \begin{cases} 3x+2y &=& 7\\ -x+5y & =&-4 \\ \end{cases} \] 使用之前提到的方法先算得特解之后再考虑如何处理相应的齐次问题即可得出最终答案。
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