线性代数7——AX=0 主变量 特解

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本文介绍了矩阵的秩、自由变量及其与零空间的关系。详细解释了如何通过简化阶梯形式求解特解，并利用自由变量计算零空间的特解个数。

主变量 自由变量 pivot、free variables

  • 这里写图片描述
  • 矩阵的秩——主元的个数
    • rank(A) = 2
  • 自由变量的个数
    • 对于mxn矩阵A，个数为n-rank(A)

特解 计算零空间

  • 方程变为
    • 这里写图片描述
  • 特解
    • 枚举每个自由变量，其值为1，其余自由变量为0，计算特解
    • 特解的个数 = 自由变量的个数
  • 零空间
    • 特解的线性组合
    • 这里写图片描述

简化阶梯形式

  • reduced row echelon from zeros above and below pivots
  • 将上例简化
    • 这里写图片描述
  • 主变量 自由变量
    • 这里写图片描述
  • 零空间矩阵
    • 简化阶梯形式，经过行列变换，得
      • 这里写图片描述
    • 由RN=0，得
      • 这里写图片描述
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