麻省理工大学线性代数导论笔记 - Lecture 7 求解Ax=0：主变量、特殊解

学习视频来源：麻省理工公开课_线性代数导论 讲师：Gilbert Strang

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Lecture 7 求解Ax=0：主变量、特殊解

我们将从定义转向算法，求解$Ax=0$的算法是怎样的？这节的主要内容是零空间。

已知矩阵$A= \left( \begin{array}{ccc} 1&2&2&2\\ 2&4&6&8\\ 3&6&8&10 \end{array} \right)$，解方程组$\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0\\ 2x_1+4x_4+6x_3+8x_4=0\\ 3x_1+6x_2+8x_3+10x_4=0 \end{cases}$。在对矩阵进行消元的过程中，零空间不会改变（方程组的解不变），改变的是列空间。

- 首先经过消元得到一个echelon form 阶梯形式的矩阵$U$，本例中只有两个主元。现在我们得到了矩阵里最重要的数字：矩阵的rank 秩（主元的数量）。

• 要想求出$Ux=0$的解，我们进行下一步：找出pivot variables 主变量。
  

  • 本例中我们有两列pivot columns 主列，和剩下的两列free columns 自由列。这些自由列表示，可以自由或任意分配数值给未知数$x_2$和$x_4$，即列2和列4的乘数是任意的。然后我们只需求解主变量$x_1$和$x_3$。

  • 假设给定$x_2=1$，$x_4=0$，那么方程组
    $Ux=0$ <=> $\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0\\ 2x_3+4x_4=0 \end{cases}$变为$\begin{cases} x_1+2+2x_3+0=0\\ 2x_3+0=0 \end{cases}$，
    解得$\begin{cases} x_1=-2\\ x_3=0 \end{cases}$。

    假设给定$x_2=0$，$x_4=1$，那么方程组变为$\begin{cases} x_1+0+2x_3+2=0\\ 2x_3+4=0 \end{cases}$，
    解得$\begin{cases} x_1=2\\ x_3=-2 \end{cases}$。

  • 现在我们有了两个解向量$\left( \begin{array}{ccc} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{ccc} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{array} \right)$。这两个向量被称为special solutions 特殊解。special 特殊之处在于给自由变量分配的special numbers 特殊值（0、1）。通过取两个特殊解的所有线性组合，即构造出了整个零空间。那么特殊解的数量有多少呢？每个自由变量对应一个特殊解。而秩（$r$）表示主变量的个数，列数减去秩（$n-r$）就是自由变量的个数。

    • 现在$U$是阶梯型矩阵，我们来将其进一步简化为reduced row echelon form 简化行阶梯形式$R$，向上消元，将主元上下全变为 0，并简化为 1。
      
  • $R$以最简形式包含了所有信息：主元，主行，主列，以及一个单位阵（位于主行和主列交汇处）。现在我们求解$Rx=0$ <=> $\begin{cases} x_1+2x_2-2x_4=0\\ x_3+2x_4=0 \end{cases}$（从$Ax=0$到$Ux=0$到$Rx=0$，消元不改变解）。

  • 当我们给自由变量分配特殊值并回代后，主列构成的单位阵 $I=\left( \begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)$，自由列构成的部分 $F=\left( \begin{array}{ccc} 2&-2\\ 0&2 \end{array} \right)$，恰能构成两个特殊解（符号相反）：$\left( \begin{array}{ccc} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right)$$\left( \begin{array}{ccc} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{array} \right)$。

    • 抽象一点来证明上述的结论：假设有简化行阶梯形式矩阵$R=\left( \begin{array}{ccc} I&F\\0&0 \end{array} \right)$，主列在前，自由列在后，下面是一些零行。$I$是$r×r$矩阵，有$r$个主元，$n-r$个自由列。

  • 要满足$Rx=0$，首先要找到一个null space matrix 零空间矩阵（$N(A)$），使得$RN=0$，$N$的各列由特殊解组成。那么易看出$N=\left( \begin{array}{ccc} -F\\I \end{array} \right)$，$I$放在自由变量部分，$-F$放在主变量部分。

  • 再给出另一个例子把这个算法过一遍。

    已知矩阵$A= \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&4&6\\ 2&6&8\\ 2&8&10 \end{array} \right)$，消元至$U= \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 0&2&2\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array} \right)$，可得$r=2$，2列主列，1列自由列。继续消元至$R= \left( \begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array} \right)$，可得$I=\left( \begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)$，$F=\left( \begin{array}{ccc} 1\\ 1 \end{array} \right)$。则$A$的零空间$N(A)=c\left( \begin{array}{ccc} -1\\ -1\\ 1 \end{array} \right)$（$c$为常数）。回代$Ax=0$验证无误。