题解：CF98E Help Shrek and Donkey-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/scy923/article/details/146539519

首先，在最优策略的条件下，在没有多余信息的情况时，先手不会主动去猜测，只会不断地尝试询问。

接下来我们尝试列出以下表格。其中，上方是先手，左侧是后手。先手询问一张自己手中没有的牌，称之为问；询问一张自己手中有的牌，称之为诈：

先后手	问（自己没有的牌）	诈（自己有的牌）
相信先手	$A\texttt{A}$	$B\texttt{B}$
不相信先手	$C\texttt{C}$	$D\texttt{D}$

设 $f_{n,m}$ 表示先手有 $n$ 张，后手有 $m$ 张牌时，先手获胜的概率。对四种情况进行详细地分析：

$A\texttt{Case A}$

有 $1m+1\frac{1}{m + 1}$ 的概率问到桌上的那张牌。由于后手选择相信，后手也就知晓了桌上的牌，因此下一次可以直接猜测这张牌而获胜。
有 $mm+1\frac{m}{m + 1}$ 的概率问到后手手中的牌。后手失去一张牌且无多余信息获得。

因此该种情况的收益为 $1m+1×0+mm+1(1−fm−1,n)\frac{1}{m + 1} \times 0 + \frac{m}{m + 1}(1-f_{m - 1,n})$ 。

$B\texttt{Case B}$

后手认为这张牌是桌上的牌，因此后手无法获胜，收益为 $1$ 。

$C\texttt{Case C}$

有 $1m+1\frac{1}{m + 1}$ 的概率问到桌上的那张牌。由于后手选择不相信，相当于后手认为这张牌是先手的，因此先手胜。
有 $mm+1\frac{m}{m + 1}$ 的概率问到后手手中的牌。后手失去一张牌且无多余信息获得。

因此该种情况的收益为 $1m+1×1+mm+1(1−fm−1,n)=1−mm+1fm−1,n\frac{1}{m + 1} \times 1 + \frac{m}{m + 1}(1-f_{m - 1,n}) = 1 - \frac{m}{m + 1}f_{m - 1,n}$ 。

$D\texttt{Case D}$

相当于后手知晓了先手的一张牌，先手无多余信息获得，收益为 $1 - f_{m,n - 1}$ 。

四种情况均已知晓后我们就需要找到纳什均衡，换句话说，就是找到一个概率 $p$ 使得每个人的选择都让对方无法猜透，更进一步来说，就是期望价值相等（如果画图，可以得到两条线存在非坐标轴处的交点）。因此可列出方程：

$\\ p(A - B - C + D) = D - B \\ p = \dfrac{B - D}{B + C - A - D}$

代码用记忆化即可，注意边界情况：

long double dfs (int x,int y)
{
	if (dp[x][y]) return dp[x][y];
	if (!x) return dp[x][y] = 1.0 / (y + 1);
	if (!y) return dp[x][y] = 1.0;
	long double A = 1.0 * y / (y + 1) * (1 - dfs (y - 1,x)),B = 1.0,C = 1.0 - 1.0 * y / (y + 1) * dfs (y - 1,x),D = 1 - dfs (y,x - 1);
	long double p = (B - D) / (B + C - A - D);
	return dp[x][y] = p * A + (1 - p) * B;
}