题解：CF2120E Lanes of Cars

根据贪心，不难想到每次会把最长队伍末尾的那辆车移动到最短队伍的末尾。但由于 $k$ 的存在，会导致一些冗余移动的存在。设需要挪动 $C$ 辆车，则怒气值可以表示为 $f(C)+kC$，其中 $f(C)$ 是排队所产生的怒气值，$kC$ 为变道产生的额外怒气值。仔细分析以后，可以发现这是一个凸函数，因此考虑三分答案。

一开始想要三分需要挪车的最短长度 $y$，但是不能忽略 $k$ 的影响，有些队伍的长度虽然 $>y$，但挪动不移动会更优。于是三分挪动车辆的数量才是最优的。

具体来说，可以枚举哪些队伍的车辆会减少/增加。若现在考虑会减少的队伍的车辆，给 $a_i$ 排序后，设当前最长队伍的车辆数为 $x$，次长的为 $y$ ($x\ne y$)，然后长度为 $x,y$ 的队伍的数量分别为 $f_x,f_y$。若共需要移动 $C$ 辆车，则有两种情况:

• $C\ge (x-y)\times f_x$，也就是说长度为 $x$ 的车可以直接变为 $y$，$C\leftarrow C-(x-y)\times f_x;f_y\leftarrow f_x+f_y;f_x\leftarrow 0$。

• $C<(x-y)\times f_x$，此时会产生新的队伍长度，也就是 $C\leftarrow 0;f_{x-\lfloor \frac{C}{f_x}\rfloor -1}\leftarrow f_{x-\lfloor \frac{C}{f_x}\rfloor -1}+C\mathrm{mod}{f}_x;\leftarrow f_{x-\lfloor \frac{C}{f_x}\rfloor }+(f_x-C\mathrm{mod}{f}_x)$。

可以发现最后队伍长度的种类数不会超过 $n+2$，因此这是 $O(n)$ 的。考虑增加的队伍的车辆同理，用 STL 来写会简单一点。但是由于多了一支 $\log$，实测会超时：

ll tot = sum * k,res = sum,number = sum;
set <int> s;map <int,int> bg,sm;
s.insert (-1e9);
for (int i = 1;i <= n;++i) s.insert (a[i]),++bg[a[i]];
while (sum)
{
    int x = *(--s.end ()),num = bg[x];s.erase (x);
    int y = *(--s.end ());
    if (sum >= 1ll * (x - y) * num)
    {
        sum -= 1ll * (x - y) * num;
        bg[y] += num;bg[x] = 0;
    }
    else 
    {
        bg[x] = 0;
        int tmp = sum % num;
        if (tmp) bg[x - sum / num - 1] += tmp;
        bg[x - sum / num] += num - tmp;
        sum = 0;
    }
}
s.clear ();
for (auto [x,num] : bg)
    if (num) s.insert (x),sm[x] = num;
s.insert (1e9);
while (res)
{
    int x = *s.begin (),num = sm[x];s.erase (x);
    int y = *s.begin ();
    if (res >= 1ll * (y - x) * num)
    {
        res -= 1ll * (y - x) * num;
        sm[y] += num;sm[x] = 0;
    }
    else
    {
        sm[x] = 0;
        int tmp = res % num;
        if (tmp) sm[x + res / num + 1] += tmp;
        sm[x + res / num] += num - tmp;
        res = 0;
    }
}
for (auto [x,num] : sm) tot += 1ll * x * (x + 1) / 2 * num;
return tot;
};

再次思考可以发现 STL 的 $\log$ 完全是多余的，可以通过数组来替代，但需要小心清空与去重的问题。最后的 AC 代码如下，时间复杂度 $O(n\log n)$：

#include <bits/stdc++.h>
#define init(x) memset (x,0,sizeof (x))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 2e18
#define pii pair <int,int>
using namespace std;
const int MAX = 2e5 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7;
inline int read ();
int a[MAX],b[MAX];
vector <int> bg (1000001,0),sm (1000001,0);
void solve ()
{
    int n = read (),k = read ();ll ans = INF;
    for (int i = 1;i <= n;++i) a[i] = read ();
    sort (a + 1,a + 1 + n);
    auto check = [&] (ll sum) -> ll
    {
        ll tot = sum * k,res = sum;int cnt = 0;
        vector <int> p;
        for (int i = 1;i <= n;++i) p.push_back (a[i]);
        for (int i = 1;i <= n;++i) 
        {
            if (!bg[a[i]]) b[++cnt] = a[i];
            ++bg[a[i]];
        }
        b[0] = -1e9;
        while (sum > 0)
        {
            int x = b[cnt--],num = bg[x];
            int y = b[cnt];
            if (sum >= 1ll * (x - y) * num)
            {
                sum -= 1ll * (x - y) * num;
                bg[y] += num;bg[x] = 0;
            }
            else 
            {
                bg[x] = 0;
                int tmp = sum % num;
                bg[x - sum / num] += num - tmp,p.push_back (x - sum / num);
                if (tmp) bg[x - sum / num - 1] += tmp,p.push_back (x - sum / num - 1);
                sum = 0;
            }
        }
        cnt = 0;
        for (auto v : p)
            if (bg[v]) b[++cnt] = v,sm[v] = bg[v],bg[v] = 0;
        p.clear ();
        for (int i = 1;i <= cnt;++i) p.push_back (b[i]);
        b[++cnt] = 1e9;cnt = 1;
        while (res > 0)
        {
            int x = b[cnt++],num = sm[x];
            int y = b[cnt];
            if (res >= 1ll * (y - x) * num)
            {
                res -= 1ll * (y - x) * num;
                sm[y] += num;sm[x] = 0;
            }
            else
            {
                sm[x] = 0;
                int tmp = res % num;
                if (tmp) sm[x + res / num + 1] += tmp,p.push_back (x + res / num + 1);
                sm[x + res / num] += num - tmp,p.push_back (x + res / num);
                res = 0;
            }
        }
        for (auto v : p) tot += 1ll * v * (v + 1) / 2 * sm[v],sm[v] = 0;
        return tot;
    };
    ll l = 0,r = accumulate (a + 1,a + n + 1,0ll);
    while (l < r)
    {
        ll midl = l + (r - l) / 3,midr = r - (r - l) / 3;
        ll v1 = check (midl),v2 = check (midr);
        ans = min (ans,min (v1,v2));
        if (v1 <= v2) r = midr - 1;
        else l = midl + 1;
    }
    printf ("%lld\n",ans);
}
int main ()
{
    int t = read ();
    while (t--) solve ();
    return 0;
}
inline int read ()
{
    int s = 0;int f = 1;
    char ch = getchar ();
    while ((ch < '0' || ch > '9') && ch != EOF)
    {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
    {
        s = s * 10 + ch - '0';
        ch = getchar ();
    }
    return s * f;
}