初级数学 学习笔记

数论基本概念

1. 整除法

$$n=ak+r(0\le r<a)\to k=\lfloor \frac{n}{a}\rfloor$$

2. 算数基本定理

$p_i$ 为素数，且 $p_i<p_{i+1}$，则有：
$$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_m^{a_m}$$

3. 最大公约数与最小公倍数

$$\gcd (a,b)\times lcm(a,b)=\gcd (a,b)\times \frac{a\times b}{\gcd (a,b)}=a\times b$$

4. 求一个数的约数个数

一个数的每个因子均由若干个素因子构成，第 $i$ 个素因子共有 $i+1$ 种取法，所以总个数为（$k$ 为素因子的总个数）：
$$\prod _{i=1}^k(a_i+1)$$
代码如下：

int divisor (int n)//算数基本定理
{
   
   
    int tot = 1;
    for (int i = 2;i * i <= n;++i)
    {
   
   
        if (n % i == 0)
        {
   
   
            int cnt = 0;
            while (n % i == 0) n /= i,++cnt;//素因子i 在 num 中的个数
        	tot *= (cnt + 1);
        }
    }
    if (n > 1) tot *= 2;//剩下的 n 也为素数的情况
    return tot;
}

int divisor_direct (int n)//直接暴力枚举
{
   
   
    int cnt = 0;
    for (int i = 1;i * i <= n;++i)
    {
   
   
        if (n % i == 0)
        {
   
   
            ++cnt;
            if (n / i != i) ++cnt;//完全平方数时会重复计算
        }
    }
    return cnt;
}

素数筛法

1. 朴素筛法

将每一个数的所有倍数都筛去，时间复杂度为：$O(\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\cdots +1)$。所以当 $\lim (n\to \infty )$ 时，近似为 $O(n\log n)$。

2. 常数优化

枚举小的那个因子。

for (int i = 2;i * i <= n;++i)
    if (!flag[i])
        for (int j = i * i;j <= n;j += i) flag[j] = 1;

3. 线性筛

时间复杂度为 $O(n)$。

void work (int n)//保证每个数最多被筛一次
{
   
   
    for (int i = 2;i <= n;++i)
    {
   
   
        if (!flag[i]) p[++cnt] = i;//素数
        for (int j = 1;j <= cnt;++j)
        {
   
   
            if (i * p[j] > n) break;//边界
            flag[i * p[j]] = 1;//p[j] 是 i * p[j] 的最小素因子
            if (i % p[j] == 0) break;//之后 p[j] 不为 i * p[j] 的最小素因子
            //若 p[j] = 2,i = 4，则之后 p[j] = 3,i = 4 不符合条件。否则 12 = 2*6 = 3 * 4 被筛的次数 > 1
        }
    }
}

欧几里得算法

1. 辗转相减

若 $a>b$，则 $\gcd (a,b)=\gcd (a-b,b)$。

2. 辗转相除

若 $a>b$，则 $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\%b)$。

int gcd (int a,int b)
{
   
   
    if (a < b) swap (a,b);
    return (!b) ? a : gcd (b,a % b);
}

扩展欧几里得算法

由欧几里得算法可知 $ax+by=\gcd (a,b)$ 一定存在一组解。那么求解 $ax+by=c$ 时，过程如下：
$$\begin{gathered} ax+by=c(a>b) \\ \text{设 }a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=\gcd (a,b) \\ \text{则辗转相减知 }(a-b)\times x_1+b\times y_1=\gcd (a,b) \\ \therefore a\times x_1+b\times (y_1-x_1)=\gcd (a,b) \\ \therefore x=x_1,y=y_1-x_1 \\ \text{由辗转相除代替辗转相减，则有 }b\times x_1+a\%b\times y_1=\gcd (a,b) \\ \because a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b \\ \therefore b\times x_1+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)\times y_1=\gcd (a,b) \\ \therefore a\times y_1+b\times (x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y_1)=\gcd (a,b) \\ \therefore x=y_1,y=x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y_1 \end{gathered}$$
不断递归得到 $\gcd (a,b)\times x+0\times y=\gcd (a,b)$，得到特解 $x=1,y=0$。

int exgcd (int a,int b,int &x,int &y)
{
   
   
    int g = a;
    if (b)
    {
   
   
        g = exgcd (b,a % b,x,y);
        x -= (a / b) * y;
        swap (x,y);
    }
    else x = 1,y = 0;//一组特解
    return g;
}

设 $k_1=a÷\gcd (a,b),k_2=b÷\gcd (a,b)$，显然 $\gcd (k_1,k_2)=1$。设 $x,y$ 的最小变化单位是 $d_1,d_2$，则此时 $k_1=d_2,k_2=d_1$，所以通解是：

$$\{\begin{array}{l}x=x+k\times \frac{b}{\gcd (a,b)}\\ y=y-k\times \frac{a}{\gcd (a,b)}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

欧拉函数

1. 定义

$\varphi (n)$ 表示小于等于 $n$ 的正整数与 $n$ 互质的个数。 并且规定 $\varphi (1)=1$。

2. 积性函数

设 $p$ 为质数，求 $\varphi (p^k)$，也就是总数减去所有 $p$ 的倍数。
$$\varphi (p^k)=p^k-(p^k÷p)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}$$
同理，求 $\varphi (p_1^{k_1}\times p_2^{k_2})$，也就是总数减去 $p_1,p_2$ 的倍数，然后再加上 $p_1\times p_2$ 的倍数。
$$\begin{gathered} \therefore \varphi ({p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2})={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}-{p_1}^{k_1-1}{p_2}^{k_2}\times {p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2-1}+{p_1}^{k_1-1}{p_2}^{k_2-1} \\ \therefore \varphi ({p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2})=\varphi ({p_1}^{k_1}) \end{gathered}$$