【题解】P3176 [HAOI2015]数字串拆分

先处理函数 $f_i$，有 $f_i=\sum _{j=i-m}^{i-1}{f}_j$，这个递推式显然可以通过矩阵乘法进行优化。设 $F_i$ 表示通过递推函数 $f_i$ 得到的矩阵，则有以下矩阵的递推（以 $m=5$ 为例）：

$$
F_i =
\begin{bmatrix}
f_i\
f_{i - 1}\
f_{i - 2}\
f_{i - 3}\
f_{i -4}
\end {bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end {bmatrix}^k
\cdot
\begin{bmatrix}
f_{i - 1}\
f_{i - 2}\
f_{i - 3}\
f_{i - 4}\
f_{i - 5}
\end{bmatrix}
$$

$g_i$ 的计算不太好处理，等价转换以下令 $G_i$ 表示处理前 $i$ 位得到的所有情况的矩阵之和，因此最后的答案就会在 $G_n$ 中。由矩阵的乘法分配律可知 $A^{}$