【题解】P3176 [HAOI2015]数字串拆分

先处理函数 $f_i$，有 $f_i=\sum _{j=i-m}^{i-1}{f}_j$，这个递推式显然可以通过矩阵乘法进行优化。设 $F_i$ 表示通过递推函数 $f_i$ 得到的矩阵，则有以下矩阵的递推（以 $m=5$ 为例）：

$$F_i=\left[\begin{array}{c}{f}_i\\ f_{i-1}\\ f_{i-2}\\ f_{i-3}\\ f_{i-4}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]}^k\cdot \left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ f_{i-2}\\ f_{i-3}\\ f_{i-4}\\ f_{i-5}\end{array}\right]$$
$g_i$ 的计算不太好处理，等价转换以下令 $G_i$ 表示处理前 $i$ 位得到的所有情况的矩阵之和，因此最后的答案就会在 $G_n$ 中。由矩阵的乘法分配律可知 $A^{x+y}=A^x\times A^y$，因此可以将 $G_i$ 进行转移。设 $A_{i,j}$ 表示数字串中 $[i,j]$ 的转移矩阵之积，则 $G_i=\sum _{j=0}^{i-1}{G}_j\times A_{j+1,i}$。

现在的复杂度为计算矩阵 $A_{i,j}$，不难发现 $A_{i,j}=F_{s_i^{10^{n-i}}}\times A_{i+1,j}$，稍作变换得 $A_{i,j}=F_{(10^{n-i}{)}^{s_i}}\times A_{i+1,j}$。这样只需要预处理出 $F_{10^i}$ 的矩阵即可。

两个小细节：

• 在写矩阵时用到了 + 与 * 的重载，这时候原来的优先级已经不复存在，因此需要通过括号来处理顺序。

• 矩阵的初始化要小心，需要避免未定义行为。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAX = 505;
const int MOD = 998244353;
int m,n;ll ans;
char s[MAX]; 
struct Mat
{
	ll a[6][6];
	Mat() {memset(a,0,sizeof(a));}//全部 memset 肯定没问题
	Mat operator * (const Mat &y)
	{
		Mat z;
		for (int k = 1;k <= m;++k)
			for (int i = 1;i <= m;++i)	
				for (int j = 1;j <= m;++j)
					z.a[i][j] += a[i][k] * y.a[k][j] % MOD,z.a[i][j] %= MOD;
		return z;
	}
	Mat operator + (const Mat &y)
	{
		Mat z; 
		for (int i = 1;i <= m;++i)
			for (int j = 1;j <= m;++j) z.a[i][j] = a[i][j] + y.a[i][j],z.a[i][j] %= MOD;
		return z;
	}
	Mat qpow (Mat x,ll y)
	{
		Mat res;
		for (int i = 1;i <= m;++i) res.a[i][i] = 1;
		while (y)
		{
			if (y & 1) res = res * x;
			x = x * x;
			y >>= 1;
		}
		return res;
	}
} p[MAX],f[MAX][MAX],g[MAX];
int main ()
{
	//freopen (".in","r",stdin);
	//freopen (".out","w",stdout);
	scanf ("%s%d",s + 1,&m);
	n = strlen (s + 1);
	for (int i = 1;i <= m;++i) p[0].a[1][i] = 1;
	for (int i = 2;i <= m;++i) p[0].a[i][i - 1] = 1;
	for (int i = 1;i <= n;++i) p[i] = p[i].qpow (p[i - 1],10);//预处理 10^i 的矩阵 
	for (int j = 1;j <= n;++j)//扩展 需要注意一下 i = j 的特殊情况
		for (int i = j;i;--i)//f[i][j] = f[i + 1][j] * f(10^(j - i))^(s_i)
			f[i][j] = (i == j) ? f[i][j].qpow (p[0],s[i] - '0') : f[i + 1][j] * f[i][j].qpow (p[j - i],s[i] - '0');
	for (int i = 1;i <= m;++i) g[0].a[i][i] = 1;
	for (int i = 1;i <= n;++i)//g[i] 表示前 i 位的所有情况的答案 
		for (int j = 0;j < i;++j) g[i] = g[i] + (g[j] * f[j + 1][i]);//注意优先级
	printf ("%lld\n",g[n].a[1][1]);//最后的答案显然是左上角的那个值
	return 0;
}