【题解 CF1650F】Vitaly and Advanced Useless Algorithms

有一个显然的贪心结论，就是先完成任务截止时间考前的，若在前面的都无法完成，那么后面的更加不可能完成。题目十分良心，$a_i$ 已经在输入时升序给出。

对于每个任务，需要用尽可能少地耗时完成尽可能多的百分比，每个计划的状态均为选或不选，这不就是 $0-1$ 背包嘛。由于要输出方案，所以我们设二维状态，对于某个任务，设 $d{p}_{i,j}$ 表示该任务的前 $i$ 个计划完成的百分率为 $j$ 时的最小耗时，这里默认 $j>100$ 时也表示成 $j=100$ 的状态。所以可以写成方程 dpi,j(j≤[1,100])=min⁡(dpi−1,j,min⁡{dpi−1,j−p+t})dp_{i,j}(j \le [1,100]) = \min (dp_{i - 1,j},\min \{dp_{i - 1,j - p} + t\})dpi,j​(j≤[1,100])=min(dpi−1,j​,min{dpi−1,j−p​+t})，其中有一个是继承上一次的状态。

对于每个任务的方案记录，直接从 $d{p}_{i,100}$ 进行还原，若 $d{p}_{i,j}\ne d{p}_{i-1,j}$ 则说明发生有效转移，记录此时的计划编号即可。用一个 vector 去记录会比较遍历，每一次 $dp$ 后将每个人物的方案汇总至总的方案数组即可。

思路不算复杂，不过需要注意 $dp$，方案记录数组的初始化以及无解的判断。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <vector>
#define init(x) memset (x,INF,sizeof (x))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAX = 1e5 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7;
inline int read ();
struct node
{
	int id,t,p;
};
int t,n,m,ok,sum,a[MAX],dp[MAX][105];
vector <int> ans,v;
vector <node> e[MAX];
int solve (int x);
int main ()
{
	//freopen (".in","r",stdin);
	//freopen (".out","w",stdout);
	t = read ();
	while (t--)
	{
		n = read ();m = read ();ok = 1;sum = 0;ans.clear ();
		for (int i = 1;i <= n;++i) a[i] = read ();
		for (int i = 1;i <= m;++i) 
		{
			int x = read (),ti = read (),pi = read ();
			e[x].push_back ({i,ti,pi});
		}
		for (int i = 1;i <= n;++i)
		{
			int x = solve (i);
			if (x == -1 || sum + x > a[i]){ok = 0;break;}//时间不够
			sum += x;
			for (auto j : v) ans.push_back (j);//答案的汇总
		}
		if (!ok) puts ("-1");
		else
		{
			printf ("%d\n",ans.size ());
			for (auto i : ans) printf ("%d ",i);
			puts ("");
		}
		for (int i = 1;i <= n;++i) e[i].clear ();
	}
	return 0;
}
inline int read ()
{
    int s = 0;int f = 1;
    char ch = getchar ();
    while ((ch < '0' || ch > '9') && ch != EOF)
	{
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
	{
        s = s * 10 + ch - '0';
        ch = getchar ();
    }
    return s * f;
}
int solve (int x)
{
	int k = e[x].size ();
	for (int i = 0;i <= k;++i)
		for (int j = 0;j <= 100;++j) dp[i][j] = INF;
	v.clear ();
	dp[0][0] = 0;//初始化
	for (int i = 1;i <= k;++i)
	{
		node nw = e[x][i - 1];//注意 vector 的下标存储
		for (int j = 100;~j;--j)
			dp[i][j] = min (dp[i][j],dp[i - 1][max (0,j - nw.p)] + nw.t),dp[i][j] = min (dp[i - 1][j],dp[i][j]);
	}
	if (dp[k][100] == INF) return -1;//无法完成任务
	int p = k,cnt = 100;
	while (p && cnt > 0)
	{
		if (dp[p][cnt] == dp[p - 1][cnt]) {--p;continue;}//说明并没有发生有效转移
		v.push_back (e[x][p - 1].id);//记录编号
		cnt -= e[x][p - 1].p;
		--p;
	}
	return dp[k][100];//最小时间
}