题解：CF2039C2 Shohag Loves XOR (Hard Version)

原创已于 2025-10-25 22:33:08 修改 · 512 阅读

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#c++ #算法 #Codeforces

于 2025-01-09 19:00:00 首次发布

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给定 $x, m$ ，求有多少 $y$ 满足 $\in [1,m]$ 使得 $\oplus y$ 可以被 $x$ 或 $y$ 整除。

设 $\oplus y$ ，分三种情况讨论：

$x ∣ p$ 。设 $p = k x$ ，则 $\oplus p \le p + x \le m$ ，也就是 $\le m - x$ ，进一步化简可知 $\le \lfloor \frac{m - x}{x} \rfloor$ 。由于我们还有 $(m - x, m]$ 区间未检测，但可以充分利用 $\oplus y \le x + y$ 这个性质，我们循环判断 $(m - x, m + x]$ 区间即可（当然，官方解答的做法更加简洁，但是没看懂）。
$y ∣ p$ 。当 $0 < x < y$ 时， $\le x + y < y + y = 2y$ ，因此 $\ge 2)$ 不存在解。因此只需要考虑 $\le x$ 的情况。
$x ∣ p$ 且 $y ∣ p$ 。当 $\neq y$ 时， $lcm(x,y)≥2max⁡(x,y)\rm{lcm(x,y)} \ge 2 \max (x,y)$ ，然而 $\max (x,y)$ ，因此只有 $x = y$ 时才能成立。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define init(x) memset (x,0,sizeof (x))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAX = 1e5 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7;
inline ll read ();
ll t;
int main ()
{
	//freopen (".in","r",stdin);
	//freopen (".out","w",stdout);
	t = read ();
	while (t--)
	{
		ll x = read (),n = read (),cnt = (n - x) / x + (n < 2 * x && x <= n);
		for (ll i = (n - x) / x * x + 1;i <= n + x;++i) //枚举 x ^ y 
			if (1 <= (i ^ x) && (i ^ x) <= n && i % x == 0) ++cnt;
		for (ll i = 1;i <= min (n,x);++i) // 枚举 y 
			if ((x ^ i) % i == 0) ++cnt;
		printf ("%lld\n",cnt - (n >= x));
	}
	return 0;
}
inline ll read ()
{
    ll s = 0;int f = 1;
    char ch = getchar ();
    while ((ch < '0' || ch > '9') && ch != EOF)
	{
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
	{
        s = s * 10 + ch - '0';
        ch = getchar ();
    }
    return s * f;
}