二次型定义

Richard888888888

已于 2022-03-19 12:02:59 修改

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文章标签：线性代数矩阵

于 2022-03-17 16:32:19 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/scdn1172/article/details/123493683

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该博客介绍了二次型如何用矩阵表示，强调了矩阵必须是对称的。内容包括平方项和交叉项的系数处理，以及二次型矩阵的转置性质。此外，还讨论了线性替换、合同矩阵的概念，并给出了二次型化为标准型的过程。正定二次型的特性也在文中被提及。

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二次型用矩阵表达式表示

$x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-x_{2}x_{3}+2x_{3}^{2}-2x_{1}x_{3}$ ，

1 平方项的系数直接做成主对角元素

2. 交叉项的系数除以2，放到两个对称的相应位置上。

$x_{1}^{2}$ , $x_{2}^{2}$ , $x^{2}_{3}$ 的平方项系数为 1 ，1 ，2放在对角线上，如下图红色部分；

交叉项部分 $2x_{1}x_{2}$ ， 2/2放在第一行第二例，即第二行第一例；

$-x_{2}x_{3}$ 将-1/2放在第二行第三列，和第三行第二列；

$-2x_{1}x_{3}$ 将-2/2放在第一行第三列，和第三行一第列；

$-x_{2}x_{3}$ ， -2x_{1}x_{3}

$\begin{pmatrix} {\color{Red} 1} &1 & -1\\ 1& {\color{Red} 1} &-\frac{1}{2} \\ -1 & -\frac{1}{2} &{\color{Red} 2} \end{pmatrix}$

$(x_{1},x_{2},x_{3})\begin{pmatrix} {\color{Red} 1} &1 & -1\\ 1& {\color{Red} 1} &-\frac{1}{2} \\ -1 & -\frac{1}{2} &{\color{Red} 2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}$

记作 $X^{T}AX$ ,A就叫二次型的矩阵。

二次型的矩阵一点是对称的。

$A^{T}=A$

转置性质：

只有平方项,叫做标准项；

$d_{1}y^{2}+d_{2}y^{2}+d_{3}y^{2}$

线性替换 X=CY

$f(x)=X^{T}AX$ $\Rightarrow$ $f(x)=(CY)^{T}ACY=Y^{T}C^{T}ACY$

矩阵A对称则 $A=A^{T}$

$B^{T}=(C^{T}AC)^{T}=C^{T}A^{T}(C^{T})^{T}=C^{T}AC=B$

合同：A,B是两个n阶的方阵，如果存在可逆矩阵C，使得 $C^{T}AC=B$ ,就叫两个矩阵合同；

1) $A\simeq A$ ;(A和它自己合同)

$E^{T}AE=A$

2)如果 $A\simeq B$ ,那么 $B\simeq A$ ;

3) $A\simeq B$ , $B\simeq C\Rightarrow A\simeq C$ ；

4) $A\simeq B$ 那么r(A)=r(b)；

5)如果 $A\simeq B$ ， $A^{T}=A$ ,那么 $B^{T}=B$ (A对称，那么B也对称)

6）如果 $A\simeq B$ ，如果 A,B可逆，那么 $A^{-}\simeq B^{-}$ ；

7）如果 $A\simeq B$ ，那么 $A^{T}\simeq B^{T}$ ；

二次型化标准型(初等变换，正交替换)

任意一个可逆矩阵，都可以表现成一个初等矩阵的乘积

$C=EP_{1}P_{2}P_{3}......P_{S}$

$C^{T}AC=\Lambda$

$(P_{1}P_{2}P_{3}......P_{S})^{T}AP_{1}P_{2}P_{3}......P_{S}=\Lambda$

$P_{S}^{T}......P_{3}^{T}P_{2}^{T}P_{1}^{T}AP_{1}P_{2}P_{3}......P_{S}=\Lambda$

左乘行变换，右乘列变换;

1）对A,E做同样的初等列变换;

2）只对A做初等行变换;

通过例子来说明

$A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 & 2 &2 \\ 1 &2 & 1 \end{pmatrix}$

解 : $\binom{A}{E}=\begin{pmatrix} 1 & 1& 1\\ 1 & 2 &2 \\ 1&2 &1 \\ 1 &0 &0 \\ 0&1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ **第一列*-1加到第二列**

$=$ $\begin{pmatrix} 1 & 0& 1\\ 1 & 1 &1 \\ 1&1 &1 \\ 1 &-1 &0 \\ 0&1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 马上做行变换，第一行*-1加到第二行上

$=\begin{pmatrix} 1 & 0& 1\\ 0 & 1 &1 \\ 1&1 &1 \\ 1 &-1 &0 \\ 0&1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 第一列*-1，加到第三行上

$=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 & 1 &1 \\ 1&1 &0 \\ 1 &-1 &-1 \\ 0&1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 马上做行变换，第一行*-1加到第三行上

$=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 & 1 &1\\ 0&1 &0 \\ 1 &-1 &-1 \\ 0&1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 第二列*-1，加到第三例上

$=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 & 1 &0 \\ 0&1 &-1 \\ 1 &-1 &0 \\ 0&1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 马上做行变换，第二行*-1，加到第三行

$=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 & 1 &0 \\ 0&0 &-1 \\ 1 &-1 &0 \\ 0&1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

上三行，则是

$\Lambda =\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0&0 &-1 \end{pmatrix}$

下三行

$\Lambda =\begin{pmatrix} 1 &-1 &0 \\ 1& -1 &0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}$

有定性

有定性的判别：

1）正定二次型经过线性替换，仍是正定。

$f(x)=X^{T}AX$ 正定， $A\simeq E$

二次型定义

二次型用矩阵表达式表示

，

1 平方项的系数直接做成主对角元素

2. 交叉项的系数除以2，放到两个对称的相应位置上。

, ,的平方项系数为 1 ，1 ，2放在对角线上，如下图红色部分；

交叉项部分 ， 2/2放在第一行第二例，即第二行第一例；

将-1/2放在第二行第三列，和第三行第二列；

将-2/2放在第一行第三列，和第三行一第列；

， -2x_{1}x_{3}

记作 ,A就叫二次型的矩阵。

二次型的矩阵一点是对称的。

转置性质：

只有平方项,叫做标准项；

线性替换 X=CY

矩阵A对称则

合同：A,B是两个n阶的方阵，如果存 在可逆矩阵C，使得,就叫两个矩阵合同；

1) ;(A和它自己合同)

2)如果,那么;

3) ,；

4) 那么r(A)=r(b)；

5)如果 ，,那么(A对称，那么B也对称)

6）如果 ，如果 A,B可逆，那么；

7） 如果，那么；