隐函数求导

已于 2022-01-26 08:29:23 修改
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文章标签： 深度学习 机器学习 算法
于 2022-01-24 12:56:50 首次发布
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\frac{\partial U}{\partial X}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F,G)}{\partial (X,V)}

求X^{2}+Y^{2}=r^{2},求\frac{d^{2}y}{dx^{2}}

解:

两边同时对X求导,Y^{2}要看做一个复合函数。

得 2X+2Y*\frac{dy}{dx}=0

{y}'=\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}= {-\left (\frac{x}{y} \right )}'= \frac{​{f(x)}'g(x)-{g(x)}'f(x)}{g(x)^{2}}= \frac{​{x}'y-{y}'x}{y^{2}}

= \frac{y+x*\frac{x}{y}}{y^{2}}= \frac{y^{2}+x^{2}}{y^{3}}

例：

X=a(t-sint)  ,   y=a(1-cost)

\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{asint}{a-acost}

对\frac{dy}{dx}对x再次求导  \frac{d}{dx}(\frac{asint}{a-acost})= \frac{d(\frac{asint}{a-acost})}{dt}/\frac{dx}{dt}

例3 \left\{\begin{matrix} XU-YV=0 \\ YU+XV=1 \end{matrix}\right.  

两边对x求偏导，

U+X\frac{\partial u}{\partial x}-Y\frac{\partial v}{\partial x}=0

Y\frac{\partial U}{\partial X}+V+X\frac{\partial V}{\partial X}=0

\frac{\partial U}{\partial X}=\frac{\begin{vmatrix} -U &-Y \\ -V& X \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} X &-Y \\ Y& X \end{vmatrix}}

\frac{\partial V}{\partial X}=\frac{\begin{vmatrix} X &-U \\ Y & -V \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} X & -Y\\ Y& X \end{vmatrix}}

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