卡特兰数

  卡特兰数学习总结

 

前言：

今天发现了一道题，认认真真的以为是组合数，认认真真的看了半天，认认真真的懵逼了好久，最后去看了题解，原来这个玩意儿是卡特兰数······

 

内容：

卡特兰数的数值h(n)为1 ~ n这n个数，按照从小到大的顺序入栈，不同的出栈序列种数。

 

公式：

1、h(i) = c(2n, n) - c(2n, n - 1)

证明：我们来形象一点考虑这个序列的意义，我们把入栈看做I，出栈看做O，那么相当于我们现在有一个长度为2 * n的IO序列，并且对于这个序列的每一个前缀都应该满足I的个数大于O的个数，（入栈数大于等于出栈数），那么首先，我们先不考虑后一个前缀中的个数限制，那么总的I有n个，O有n个的情况一定是C(2n,n)个，然后考虑，非法的情况，首先我们还是保证这个非法的序列有n个I，n个O，那么显然的，因为它是非法的，那么一定存在某个位置x，满足x是一个奇数，并且是第一个满足序列1 ~ x中的O的个数比I的个数大1的位置，那么考虑这种情况意味着什么，如果，我们将1 ~ x中的I全部变成O，O全部变成I，那么原来的序列，会变成一个有着n +1个I，有n - 1个O的序列，并且显然，任意不同的非法序列，都一定能对应不同的有着n - 1个O，n + 1个I的序列，我们在来反向考虑，这样的序列是不是也一定能够对应一个非法序列，显然对于一个满足有n - 1个O，n + 1个I的序列，我们一定能找到一个位置x，满足x为奇数，并且，x是第一个满足1 ~ x中，I的数量比O的数量多1的（显然I的总数大于O的总数），那么我们将这一段中的I和O反转，就形成了一个有着n个O，n个I的非法序列，所以说最终的合法的序列种数为C(2n,n) - C(2n, n - 1)个，得证。

 

2、

证明：我们还是在定义的基础上来搞一搞，设我们最后出栈的数为k，那么k -1一定在k入栈之前就已经出栈，也就是说k入栈的时候，栈为空，那么1 ~ k- 1出栈序列有h(k- 1)中，同样的，因为，k为最后出栈的，所以在k入栈之后，k + 1 ~ n全部入栈并且出栈之后，k最后出栈，那么k +1 ~ n的出栈序列有h(n- k)种，那么我们枚举k就可以获得上面的表达式了。

 

3、h(n) = c(2n, n) / (n + 1)

证明：我们知道，c(2n,n) * n / (n + 1) = c(2n, n - 1)，那么显然，从递推式一可以得到，h(n) = c(2n, n) - c(2n, n) * n / (n + 1) = c(2n, n) / (n + 1)

 

4、h(n) = h(n - 1) * (4 * n - 2) / (n + 1)

证明：比较形象的证明我是没有找到的，但是可以直接粗暴的从式子1恒等证明回来，所以姑且算作是纯数学推导吧，具体的只需要证明c(2n - 2, n - 1) * (4 * n - 2) = c(2n, n)就可以了。

 

例题：有趣的数列

题目背景：

bzoj1485

分析：卡特兰数 + 取膜

一共2 * n个数，n个奇数项，n个偶数项，一个长度为2 * n，1 ~ 2 * n的序列，每一个前缀中的奇数项一定大于等于偶数项，那么也就是可以想成是n个数进栈，求出栈序列，也就是卡特兰数了，然后我们要求的就是c(2n, n) - c(2n, n - 1)直接暴力分解质因数就可以了，复杂度O(nlogn)。

Source：

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const int MAXN = 1000000 + 10;

int n, mod, prime_cnt;
int up[MAXN], down[MAXN], prime[MAXN];
bool not_prime[MAXN];

inline void seive(int n) {
	not_prime[1] = true;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		if (!not_prime[i]) prime[++prime_cnt] = i;
		for (int j = 1; j <= prime_cnt && prime[j] * i <= n; ++j) {
			not_prime[i * prime[j]] = true;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

inline int solve(int n, int m) {
	static int cnt[MAXN];
	for (int i = 1; i <= m; ++i) down[i] = i, up[i] = n - i + 1;
	for (int i = 1; i <= prime_cnt; ++i) {
		int x = prime[i];
		for (int j = x; j <= m; j += x)
			while (down[j] % x == 0) cnt[x]++, down[j] /= x;
		for (int j = n % x + 1; cnt[x]; j += x) 
			while (up[j] % x == 0 && cnt[x]) cnt[x]--, up[j] /= x;
	}
	int ans = 1;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) ans = (long long)ans * (long long)up[i] % mod;
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &mod), seive(n);
	printf("%d", (solve(2 * n, n) - solve(2 * n, n - 1) + mod) % mod);
	return 0;
}