优秀而强行的十进制快速幂

优秀而强行的十进制快速幂

今天在xehoth大神的带领下，学习了十进制快速幂·····真心强行

 

首先我们先来看看普通的快速幂以及快速乘（已经熟悉快速幂的同学可以跳过本段）

时间复杂度T(n)：O(log₂n);

空间复杂度S(n)：O(n);

 

详解：

快速幂取模算法

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

我们先从简单的例子入手：求 a ^ b % c = ? 

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;

for (int i = 1; i <= b; i++)

    ans = ans * a;

ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

a^b  mod c = (a mod c)^b  mod c这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：

引理1：

公式：(ab) mod c=[(a mod c) * (b mod c)] mod c

证明：

a mod c = d → a = tc + d

b mod c = e → b = kc + e

ab mod c = (tc + d) (kc + e) mod c

= (tkc² + (te + dk)c + de) mod c

= de mod c = [(a modc) * (b mod c)] mod c

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

公式：a^b mod c = (a mod c)^b mod c

证明：[(a mod c)^b] mod c

= [((a mod c)mod c)^b]mod c(由上面公式迭代)

[(a mod c)^b]mod c = a^b mod c

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;

a = a % c;//加上这一句

for(int i = 1; i <= b;i++)