21、自动自相关与谱分析：模型选择、统计缩减及应用研究

自动自相关与谱分析：模型选择、统计缩减及应用研究

1. 模型选择基础

在时间序列分析中，模型选择是一项关键任务。通过预测误差（PE）来选择合适的模型类型是一种常见方法。对于给定的观测数据，会有多种竞争模型可供选择。在推导相关公式时，我们发现无偏模型的残差方差平均值在高于真实阶数时会随 1/N 减小，而无偏模型的 PE 平均值则会随每个额外参数以 1/N 的比例增加。

例如，对于 142 个去趋势的全球温度数据，通过自动 ARMAsel 程序进行模型选择。结果显示，该程序选择了 AR(4) 模型，但 ARMA(3,2) 模型也是一个可能的选择，而 MA 模型的准确性相对较低。在 5 到 13 阶的 MA 模型中，估计的 PE 大致相同，但远低于所选 AR(4) 模型的准确性。

高阶 AR 和 MA 模型表现出相似的行为，具有相同参数数量的无偏高阶模型的 PE 几乎相同，AR 和 MA 模型非常接近。而 ARMA 模型的斜率更陡，因为每增加一阶会多两个参数。如果高阶模型的斜率规则，那么这些参数可能都很小且在统计上不显著。

在这个例子中，AR(37) 模型的 PE 突然下降，但这并不意味着数据显著偏离 AR(4) 过程。不过，如果 PE 在 37 阶的下降更强烈，就需要比较 AR(4) 和 AR(37) 的谱密度和自相关函数。ARMAsel 为随机数据提供了一种分析语言，通过检查所有候选模型的 PE，可以发现可能有趣的细节。

1.1 模型选择流程

graph LR
    A[获取观测数据] --> B[计算各模型 PE]
    B --> C{