14、协变量效应修饰与交互作用的深入解析

协变量效应修饰与交互作用的深入解析

在统计分析中，我们常常关注一个协变量如何影响另一个协变量的效应，这就是效应修饰和交互作用的研究范畴。下面将详细介绍相关概念、建模方法以及实际应用中的注意事项。

1. 效应修饰的建模

在某些应用场景中，我们会关心一个协变量对另一个协变量效应的影响。例如，维生素B摄入量对小鼠体重的影响在雄性和雌性小鼠中可能不同。通过分别为雄性和雌性小鼠拟合回归直线，我们发现维生素B对雌性小鼠体重的影响较小，而对雄性小鼠的影响较大。

为了更准确地评估这种差异的统计学意义，我们引入联合模型。定义随机变量：
- (X_1)：维生素B摄入量（mg）
- (X_2)：性别（1表示雄性，0表示雌性）

可以用两个单独的回归模型来描述这种情况：
(\mu(x_1,x_2) = \begin{cases} \beta_A^0 + \beta_A^1 x_1, & \text{if } x_2 = 1 \ \beta_B^0 + \beta_B^1 x_1, & \text{if } x_2 = 0 \end{cases})

进一步，将(X_1)视为两个不同的协变量，分别定义在雄性和雌性小鼠中：
- (X_A^1 = \begin{cases} X_1, & \text{if } x_2 = 1 \ 0, & \text{if } x_2 = 0 \end{cases})
- (X_B^1 = \begin{cases} 0, & \text{if } x_2 = 1 \ X_1, & \text{if } x_2 = 0 \end{cases})