5、航天器姿态稳定的零空间最优控制分配

航天器姿态稳定的零空间最优控制分配

1. 问题描述

在航天器姿态控制领域，反应轮常被用作执行器。对于配备 $m$ 个反应轮的航天器，其系统总角动量可表示为：
$H = H_s + H_w$
其中，$H_s$ 是航天器绕体轴的角动量，$H_w$ 是反应轮集群的总角动量。具体而言，$H_s = J\omega$，这里的 $J \in R^{3×3}$ 是航天器的总惯性矩阵，且为对称正定矩阵；$H_w = D J_w\omega_w$，其中 $D \in R^{3×m}$ 是控制配置/投影矩阵，用于描述物理执行器的分布，$J_w = diag (J_{w1}, J_{w2} \cdots, J_{wm})$ 是反应轮的对角惯性矩阵，$\omega_w = diag (\omega_{w1}, \omega_{w2}, \cdots \omega_{wm})$ 是角速率向量。

刚性航天器的动力学方程通常写为：
$\dot{H} = d - \omega \times H$
由此可推导出：
$J \dot{\omega} = - \omega \times J\omega - \omega \times Dh_w - D \dot{h}_w + d$
其中，$d = [d_1, d_2, d_3]^T \in R^3$ 是环境引起的外部干扰转矩向量，假设其未知但有界。$u = -D \dot{h}_w = [u_1, u_2, u_3]^T \in R^3$ 是执行器产生的组合控制转矩，于是航天器动力学方程可重写为：
$J \dot{\omega} = - \omega \times J\omega - \omega \times Dh_w