12、FPGA 上灵活特征 2 乘法器的高效高速实现

FPGA 上灵活特征 2 乘法器的高效高速实现

在数学和工程领域，扩展二进制域（GF(2n)）在通信、纠错码和密码学等诸多应用中具有重要意义。乘法作为其中的关键操作，其性能直接影响着更复杂算法的执行效率。因此，设计高效的有限域乘法器成为了研究的重点。

研究背景与动机

传统的乘法器设计往往缺乏灵活性，难以满足不同应用场景下对可变输入大小的需求。在硬件架构中，由于无法像软件那样进行动态内存分配，设计灵活的乘法器面临着面积优化和计算延迟控制的挑战。因此，本文聚焦于特征 2 域中灵活多项式乘法器的 FPGA 设计，旨在实现高效的可变大小乘法运算。

相关乘法算法

• 学校课本乘法（Schoolbook Multiplication） ：这是一种常见的多项式乘法方法。设 (A(x)) 和 (B(x)) 是 (GF(2^n)) 中的元素，其乘积 (C(x)) 可表示为：
  [C(x) = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} a_i \cdot b_j \cdot x^{i+j}]
  其中，(A(x) = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \cdot x^i)，(B(x) = \sum_{j=0}^{n-1} b_j \cdot x^j)。该算法具有二次复杂度，随着位数的增加，效率会显著降低。
• Karatsuba 乘法（Karatsuba Multiplication） ：该算法将操作数分为两部分，通过分解乘法步骤为少量加法操作来提高效率。设 (A(x) = A_h \cdot x^{n/2} + A_l)，