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最新推荐文章于 2025-04-27 23:34:38 发布

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最大子矩阵和

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本文探讨了一个矩阵问题的解决方案，旨在找到去除子矩阵中任意元素后的最大和。通过动态规划方法，利用矩阵的上下界进行阶段划分，实现了高效求解。文章提供了详细的算法思路和代码实现。

【链接】

https://vjudge.net/contest/255189#problem/C

【题意】

给你一个矩阵，问去掉子矩阵中任意一个元素的矩阵的最大和

【分析】

最大子矩阵和的变式，首先，给定一个矩阵求把一个元素改变成另一个元素的最大和，肯定是去掉最小的元素。

然后dp一下就OK了。

用矩阵的上下界来划分阶段。dp[i][0]表示上下界分别为l,r，指针停留到i，并且子矩阵还没被去掉最小元素的最大值。dp[i][1]类似

转移方程：

dp[i][0]=max(dp[i-1][0],0)+sum[i];

dp[i][1]=max(dp[i-1][1]+sum[i],max(max(dp[i-1][0],0)+sum[i]-mp[i]+p))

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 503;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int a[maxn][maxn];
int dp[maxn][2];
int sum[maxn];
int mp[maxn];

int main() {
	int n, m, p;
	int ans = 0;
	int sm = 0;
	while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &p)) {
		sm = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= m; j++) {
				scanf("%d", &a[i][j]);
				sm += a[i][j];
			}
		}
		ans = -inf;
		for (int l = 1; l <= n; l++) {
			dp[0][0] = 0;
			memset(sum, 0, sizeof(sum));
			for (int r = l; r <= n; r++) {
				for (int i = 1; i <= m; i++) {
					sum[i] += a[r][i];
					if (l == r)mp[i] = a[r][i];
					else mp[i] = min(mp[i], a[r][i]);
					dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], 0) + sum[i];
					if(i>1)
						dp[i][1] = max(dp[i - 1][1] + sum[i], max(dp[i - 1][0], 0)+sum[i]-mp[i]+p);
					else dp[i][1] = sum[i] - mp[i] + p;
					if (l == 1 && r == n && i == m&&dp[i][0]==sm);
					else ans = max(ans, dp[i][0]);
					ans = max(ans, dp[i][1]);
				}
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
}