27、树宽新上界启发式算法

树宽新上界启发式算法

在图论领域，树宽是一个重要的概念，它描述了图的结构复杂度。本文将介绍一些用于寻找图的树宽上界的启发式方法，以及相关的实验结果。

基本概念

• 三角剖分图 ：一个图 $G$ 是三角剖分图，当且仅当它有一个完美消除序（p.e.o.）。从图 $G = (V, E)$ 中消除一个顶点 $v$ 的操作是，先在 $v$ 的每对非相邻邻居之间添加一条边，然后移除 $v$ 及其关联的边。
• 树分解 ：图 $G = (V, E)$ 的树分解是一个对 $(X, T)$，其中 $T = (I, F)$ 是一棵树，$X = {X_i|i \in I}$ 是 $V$ 的子集的集合，每个 $T$ 的节点对应一个子集，满足 $\bigcup_{i \in I} X_i = V$，对于所有 $(u, v) \in E$，存在一个 $i \in I$ 使得 $u, v \in X_i$，并且对于所有 $i, j, k \in I$，如果 $j$ 在 $T$ 中从 $i$ 到 $k$ 的路径上，那么 $X_i \cap X_k \subseteq X_j$。树分解的宽度是 $\max_{i \in I} |X_i - 1|$，图 $G$ 的树宽是所有树分解的最小宽度。

引理

• 引理 1 ：
  • 对于每个三角剖分图 $G = (V, E)$，存在一个树分解 $(X = {X_i|i \in I}, T = (I, F))$，使得每个集合 $X_i$ 在 $G$ 中形成一个团，