26、高效收敛到纯纳什均衡及图树宽上界启发式算法研究

高效收敛到纯纳什均衡及图树宽上界启发式算法研究

高效收敛到纯纳什均衡

在加权单商品网络拥塞博弈中，算法的收敛性和纯纳什均衡（PNE）的存在性是重要的研究内容。

算法收敛性分析

对于算法 Nashify()，在每一步中，用户的成本至少减少 1，从而势函数 Φ 至少减少 (2\min_i w_i \geq 2)。因此，该算法最多需要 (\frac{1}{2}\ell W^2) 步就能收敛到 PNE。

若满足 (\frac{(\max_i w_i)^2}{\min_i w_i} = O(n^k))（其中 (k) 为常数），则算法 Nashify() 将在多项式时间内收敛到 PNE。证明过程如下：
由于 (\Phi(\varpi) \leq \ell W^2 \leq \ell(n \max_i w_i)^2 = \ell n^2 \min_i w_i \cdot O(n^k))，这意味着算法将在 (O(\ell n^{k + 2})) 步内达到 PNE。

指数延迟函数情况

在资源延迟与负载呈指数关系的加权单商品网络拥塞博弈中，至少存在一个 PNE。
设 (G = (V, E)) 为单商品网络，(P) 为所有从源点 (s) 到汇点 (t) 的路径集合。对于任意配置 (\varpi \in P^n) 和所有边 (e \in E)，延迟函数 (d_e(\theta_e(\varpi)) = \exp(\theta_e(\varpi)))。
定义 (F(\varpi) = \sum_{e \in E} \exp(\theta_e(\varpi)))，可以证明 (F) 是该博弈的 (b) - 势函数