33、安全计算的通信复杂度分析

安全计算的通信复杂度分析

1. 预备知识

• 残差信息引理 ：若 $T$、$U$、$V$、$W$ 为联合分布的随机变量，且满足马尔可夫链 $U - T - W$ 和 $T - W - V$，则 $RI(T ; W) \leq RI((U, T) ; (V, W))$。该马尔可夫链条件对应着一种安全要求，即在从视图到输出的安全转换下，残差信息只会减少。
• 残差信息的等价定义 ：$RI(U; V) = \min_{Q: \exists f,g \text{ s.t. } Q = f(U) = g(V)} I(U; V | Q)$，其中使最小值成立的随机变量 $Q$ 实际上是 $U \cap V$，且残差信息始终非负。

2. 通信复杂度的初步下界

• 基本引理 ：假设 $(p_{XY}, p_{Z|XY})$ 为标准形式，在任何安全协议 $\Pi(p_{XY}, p_{Z|XY})$ 中，隔离 Alice 与 Bob 和 Charlie 的割必须揭示 Alice 的输入 $X$，即 $H(X|M_{12}, M_{31}) = 0$。同理，$H(Y|M_{12}, M_{23}) = 0$ 且 $H(Z|M_{23}, M_{31}) = 0$。
• 定理 1 ：任何安全协议 $\Pi(p_{XY}, p_{Z|XY})$（其中 $(p_{XY}, p_{Z|XY})$ 为标准形式）应满足以下各链路传输记录熵的下界：
  • $H(M