34、安全计算通信复杂度与非完美均匀秘密共享方案研究

安全计算通信复杂度与非完美均匀秘密共享方案研究

1. 安全计算通信复杂度

1.1 不安全与安全计算差距

在安全计算相关研究中，不安全计算与安全计算的通信复杂度存在一定差距。在某些情况里，不安全计算的通信复杂度为 (n - 1) 比特，而在其他研究里是 (2n) 比特；安全计算的通信复杂度约为 (3n) 比特。这里所提出的下限是明确的，并且对于特定函数是紧密的，而其他研究中的下限是存在性的。不过，该下限并不包含其他研究中对于布尔函数的下限。当输出为单比特时，所得结果产生的界限不会比输入大小大很多，这种情况似乎更适合用组合论证，而非信息论论证。

1.2 3 - 方与函数通信复杂度

定义一个 3 - 方与函数：Alice 有输入比特 (X)，Bob 有输入比特 (Y)，Charlie 应得到 (Z = f(X, Y) = X \land Y)。对于输入 (X) 和 (Y)，其中 (p_{XY}) 在 ({0, 1}^n \times {0, 1}^n) 上有完全支持，任何安全协议 (\Pi(p_{XY}, \text{and})) 必须满足以下条件：
- (H(M_{31}) \geq n \log(3))
- (H(M_{23}) \geq n \log(3))
- (H(M_{12}) \geq n(1.826))

已知最好的协议（来自其他研究）实现了 (H(M_{12}) = 1 + \log(3))，(H(M_{23}) = H(M_{31}) = \log(3))。这里对于 (H(M_{31})) 和 (H(M_{23})) 的下限与已知协议匹配，但对于 (H(M_{12})) 存在差距，上限 (1