正定矩阵的相关性质，凸锥

一般来说（实数范围内），正定矩阵必是对称矩阵，但对称矩阵不一定就是正定矩阵（主子式也必须全为正）。
一个 $n\times n$ 的实对阵矩阵 $S^n$ 为半正定矩阵，当且仅当其对所有的非零向量 $z$，都满足：
$$z^T{S}^{n}z\ge 0$$

实对称矩阵 $S^n$ 的维数为 $n(n+1)/2$， 因为它有 $n(n+1)/2$ 个变量（就是矩阵上三角中的元素）（$tr(z^T{S}^{n}z)=z^T{S}^{n}z$）

用 $S_{+}^n$ 表示半正定矩阵，$S_{++}^n$ 表示正定矩阵。凸优化书中的表示：
S+n={X∈Sn∣X⪰0}S++n={X∈Sn∣X≻0}S^n_+=\{X\in S^n\mid X\succeq 0\}\\ S^n_{++}=\{X\in S^n\mid X\succ 0\}S+n​={X∈Sn∣X⪰0}S++n​={X∈Sn∣X≻0}

对于任意实数矩阵 $X$，$X^{T}X$ 为半正定矩阵；半正定矩阵对角线上的元素都大于等于零。

1. 半正定矩阵都可以三角分解( Cholesky 分解)

$$S_{+}^n=L{L}^T$$
其中 $L$ 是一个下三角矩阵，并且对角线上全是正实数

2. 任意矩阵与其转置的乘积 $A{A}^T$ 总是半正定矩阵

$$x^{T}A{A}^{T}x=(A^{T}x{)}^T{A}^{T}x=A^{T}x\cdot A^{T}x\ge 0$$
一个一维向量自己的内积总是大于等于零的

3. 特征根全部非负

这个证明要用到对角矩阵可对角化的性质，对于任意一个对角矩阵 $A$，一定存在一个正交矩阵 $Q$，以及对角线矩阵 $\wedge$，使得

$$A=Q^T\wedge Q$$

$$\begin{array}{rl}{x}^{T}Ax& =x^T{Q}^T\wedge Qx\\ & =(xQ{)}^T\wedge (xQ)\end{array}$$

令 $y=xQ$，显然 $y$ 是一个列向量，则(令 $\wedge$ 中的对角线为特征根)：

$$\begin{array}{rl}{x}^{T}Ax& =y^T\wedge y\\ & =\sum {\lambda }_i{y}_i^2\end{array}$$

就能证明了。

4. 主子式非零

5. 半正定矩阵是一个凸锥

半正定矩阵实际是给出了几个约束条件的函数
例如
$$X=\left[\begin{array}{cc}x& y\\ y& z\end{array}\right]\in S_{+}^n$$
等价于下面三个约束条件：
$$x\ge 0,z\ge 0,xz-y^2\ge 0$$

因为对任意两点 $A$, $B$ $\in S_{+}^n$ 以及任意 ${\theta }_1,{\theta }_2>0$，都有
$$z^T({\theta }_{1}A+{\theta }_{2}B)z={\theta }_1{z}^{T}Az+{\theta }_2{z}^{T}Bz\ge 0$$

所以 ${\theta }_{1}A+{\theta }_{2}B\in S_{+}^n$

可以理解为对任意两个点 $A,B$， ${\theta }_{1}A+{\theta }_{2}B$ 仍然满足那些约束条件（可以举两个点 $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ 推出来）。

上面三个约束条件生成的图像如下：

function DefiniteCone
ezmesh(@(x,z)sqrt(x.*z),[0,1],[0,1])
hold on
ezmesh(@(x,z)-sqrt(x.*z),[0,1],[0,1])
xlabel('x'); ylabel('z'); zlabel('y')
title('y^2=xz');
view([53,26]);
end

从图中可见该正定矩阵是一个凸锥。（画图时用除法时生成的图像很怪，因此只能用平方根了）