范式球(norm ball)，范式锥，欧式球，椭球

一个范式球的定义：
B(xc,r)={x∣∥x−xc∥≤r}B(x_c, r)=\{x\mid \|x-x_c\|\leq r\}B(xc​,r)={x∣∥x−xc​∥≤r}

一个范式锥的定义：
C={(x,r)∣∥x−xc∥≤r}C=\{(x,r)\mid \|x-x_c\|\leq r\}C={(x,r)∣∥x−xc​∥≤r}

可见它们的区别是：范式锥比范式球多一维，范式锥中 $r$ 也是一个变量。

若范式球用的是二范式，则为欧式球:
{x∣∥x−xc∥2≤r}={x∣(x−xc)T(x−xc)≤r2}\{x\mid \|x-x_c\|_2\leq r\}=\{x\mid (x-x_c)^T(x-x_c)\leq r^2\}{x∣∥x−xc​∥2​≤r}={x∣(x−xc​)T(x−xc​)≤r2}

球的另一个表达式为：B(xc,r)={xc+ru∣∥u∥≤1}B(x_c, r)=\{x_c+ru\mid \|u\|\leq 1\}B(xc​,r)={xc​+ru∣∥u∥≤1}

椭球定义：
E(xc,A)={x∣(x−xc)TA−(x−xc)≤1}E(x_c,A)=\{x\mid (x-x_c)^TA^-(x-x_c)\leq 1\}E(xc​,A)={x∣(x−xc​)TA−(x−xc​)≤1}
其中 $A$ 为一个正定矩阵。若 $A=r^{2}I$，则该椭球 ($E(x_c,r^{2}I)$) 为欧式球。

椭球的另一个表达式为：E(xc,r)={xc+Au∣∥u∥≤1}\mathcal{E}(x_c, r)=\{x_c+Au\mid \|u\|\leq 1\}E(xc​,r)={xc​+Au∣∥u∥≤1}，其中 $A$ 是方阵。