P4557 [JSOI2018]战争凸包的闵可夫斯基和

凸包与闵可夫斯基和的计算与应用

最新推荐文章于 2022-06-04 14:38:40 发布

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该博客探讨了凸包的概念及其性质，重点介绍了如何通过计算两个凸包的闵可夫斯基和来判断它们是否存在交集。文章详细阐述了闵可夫斯基和的定义，以及如何利用极角排序和向量叉积进行凸包的构建。同时，解释了凸集的数学定义，并证明了两个凸集的闵可夫斯基和仍为凸集。最后，给出了一个C++程序，用于解决给定偏移量下两个凸包是否有交集的问题，涉及点在凸包内的二分查找判断等算法细节。

https://www.luogu.com.cn/problem/P4557

题目描述很简单，给定两个凸包，我们设为 $a, b$ ，现在问给 $b$ 凸包一个整体偏移，偏移量为 $\overrightarrow{k}$ ，给定 $\overrightarrow{k}=(x,y)$ ，问这两个凸包有没有公共部分
换句话说，就是问给定的 $\overrightarrow{k}$ 是否满足 $b+\overrightarrow{k}=a$ ，即 $\overrightarrow{k}=a-b$

首先介绍一下闵可夫斯基和
定义：两个欧几里得空间点集的和，也称作两个空间的膨胀集，点集 $A$ 与 $B$ 的闵可夫斯基和定义为 $A+B=\{a+b,a\in A,b\in B\}$

求取方法是把这两个空间内部所有的向量按照极角排序，然后找到一个起点，按照极角从小到大依次放边，最后构成的形状就是两个空间的闵可夫斯基和

那么这道题我们其实要求的是 $a$ 和 $- b$ 的闵可夫斯基和，只要 $\overrightarrow{k}$ 终点在两个空间的膨胀集内部，或者边界，就说明会发生冲突，否则不会

什么叫做凸集？凸集的几何意义是如果一个集合任意两个元素连线上的点也在集合内部，那么这个集合就是一个凸集，如下图，左侧是一个凸集但是右侧却不是一个凸集；代数定义是对于 $S$ 的子集内的所有 $x$ 和 $y$ ，并且在区间 $[0, 1]$ 内所有的值 $t$ ，如果点 $(1 - t) x + t y$ 也属于 $S$ ，那么 $S$ 就是一个凸集
那么这里产生了一个疑问，为什么两个凸集的闵可夫斯基和仍然是一个凸集？我们可以进行如下证明，设 $A, B$ 是两个凸集，设 $C=A+B,\alpha_1,\alpha_2\in A,\beta_1,\beta_2\in B$
由于 $(1-t)\alpha_1+t\alpha_2\in A$ ， $(1-t)\beta_1+t\beta_2\in B$ ，所以根据凸集和的定义有 $(1-t)\alpha_1+t\alpha_2+(1-t)\beta_1+t\beta_2\in C$
所以 $(1-t)(\alpha_1+\beta_1)+t(\alpha_2+\beta_2)\in C$ 又因为根据凸集和的定义有 $\alpha_1+\beta_1\in C,\alpha_2+\beta_2\in C$ ，这就证明了C是一个凸集

接下来回到这道题，梳理一下思路，我们首先要求出 $A$ 和 $- B$ 两个凸集的闵可夫斯基和，这个结果是一个凸包，求闵可夫斯基和我们可以使用固定一个初始点然后进行归并，始终把外面的线加进去，这里使用向量叉积来判断线是否在外部， $- B$ 的意思就是坐标都取相反数，算出来要再跑一次 $A n d r e w$ 防止出现共线，然后进行点是否在凸包内部的二分判定，程序如下

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define db double
const db eps = 1e-10;
const int MAXN = 1e5 + 100;
int sgn(db x){
    if(fabs(x) < eps) return 0;
    return x < 0 ? -1 : 1;
}
struct Point{
    db x, y;
    Point(){}
    Point(db x, db y): x(x), y(y){}
    Point operator + (const Point &B)const{
        return Point(x + B.x, y + B.y);
    }
    Point operator - (const Point &B)const{
        return Point(x - B.x, y - B.y);
    }
    bool operator < (const Point &B)const{
        return sgn(x - B.x) < 0 || (sgn(x - B.x) == 0 && sgn(y - B.y) < 0);
    }
    bool operator == (const Point &B)const{
        return sgn(x - B.x) == 0 && sgn(y - B.y) == 0;
    }
}s1[MAXN], s2[MAXN], ch1[MAXN], ch2[MAXN];
Point M[MAXN], ans[MAXN];
typedef Point Vector;
db Cross(Vector A, Vector B){
    return A.x * B.y - A.y * B.x;
}
int Convex_hull(Point *s, Point *ch, int n){
    int v = 0;
    sort(s, s + n);
    n = unique(s, s + n) - s;
    for(int i=0;i<n;i++){
        while(v > 1 && sgn(Cross(ch[v - 1] - ch[v - 2], s[i] - ch[v - 2])) <= 0){
            v -= 1;
        }
        ch[v++] = s[i];
    }
    int j = v;
    for(int i=n-2;i>=0;i--){
        while(v > j && sgn(Cross(ch[v - 1] - ch[v - 2], s[i] - ch[v - 2])) <= 0){
            v -= 1;
        }
        ch[v++] = s[i];
    }
    if(n > 1) v -= 1;
    return v;
}
int check(Point A, Point *ch, int n){
    int l = 0;
    int r = n - 1;
    while(r - l > 1){
        int mid = ((r - l) >> 1) + l;
        db a1 = Cross(ch[mid] - ch[0], A - ch[0]);
        db a2 = Cross(ch[mid + 1] - ch[0], A - ch[0]);
        if(sgn(a1) >= 0 && sgn(a2) <= 0){
            if(sgn(Cross(ch[mid + 1] - ch[mid], A - ch[mid])) >= 0) return 1;
            return 0;
        }else if(sgn(a1) < 0){
            r = mid;
        }else{
            l = mid;
        }
    }
    return 0;
}
int Minkowski_sum(int n, int m){
    int tot;
    for(int i=1;i<n;i++){
        s1[i] = ch1[i] - ch1[i - 1];
    }
    s1[n] = ch1[0] - ch1[n - 1];
    for(int i=1;i<m;i++){
        s2[i] = ch2[i] - ch2[i - 1];
    }
    s2[m] = ch2[0] - ch2[m - 1];
    ans[tot = 0] = s1[0] + s2[0];
    int pt1, pt2;
    pt1 = pt2 = 1;
    while(pt1 <= n && pt2 <= m){
        tot += 1;
        ans[tot] = ans[tot - 1] + (sgn(Cross(s1[pt1], s2[pt2])) >= 0 ? s1[pt1++] : s2[pt2++]);
    }
    while(pt1 <= n){
        tot += 1;
        ans[tot] = ans[tot - 1] + s1[pt1++];
    }
    while(pt2 <= m){
        tot += 1;
        ans[tot] = ans[tot - 1] + s2[pt2++];
    }
    return tot;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m, q;
    db x, y;
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin >> s1[i].x >> s1[i].y;
    }
    int a = Convex_hull(s1, ch1, n);
    for(int i=0;i<m;i++){
        cin >> s2[i].x >> s2[i].y;
        s2[i].x = -s2[i].x;
        s2[i].y = -s2[i].y;
    }
    int b = Convex_hull(s2, ch2, m);
    int c = Minkowski_sum(a, b);
    c = Convex_hull(ans, M, c);
    while(q--){
        cin >> x >> y;
        cout << check(Point(x, y), M, c) << '\n';
    }
    return 0;
}