如何判断点是否在凸包或任意多边形内部

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#算法

于 2021-10-05 23:42:30 首次发布

这篇博客介绍了如何判断一个点是否在凸包或凹多边形内部。对于凸包，使用Andrew算法求解凸包后，通过二分查找判断点的位置；对于凹多边形，利用射线与多边形边的交点个数为奇偶性来判断。文章提供了C++实现的代码示例。

判断点否在凸包内部

例题

https://vjudge.net/problem/UVALive-7281
直接上例题，稍稍梳理一下，如下图
在这里插入图片描述

思考一下，最简单的办法，按照 $A n d re w$ 求凸包的思路，从凸包的某个点沿着逆时针顺序行进，同时看这个点是不是在这条线段左侧，如果到某条线段发现点在这条线段右侧，那么说明这个点就在凸包外侧，判断点在线段的哪一侧使用叉积即可
这样的判断时间复杂度是 $O (n)$ 的，对于大规模询问显然不行
我们有更好的办法，我们在凸包上进行二分，看下面的图
这个点的位置只有四种情况（边界一样），在外侧的两种情况可以通过叉积来判断，这是非法情况，内侧的情况可能是合法情况，只需要判断一下这个点是不是在上面的线内部即可，使用叉积判断，比较简单就不细说了，做一下上面的那道题，整理一下模板

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define db double
const db eps = 1e-10;
const int MAXN = 1e4 + 100;
int sgn(db x){
   
   
    if(fabs(x) < eps) return 0;
    return x < 0 ? -1 : 1;
}
struct Point{
   
   
    db x, y;
    Point(){
   
   }
    Point(db x, db y): x(x), y(y){
   
   }
    Point operator + (const Point &B)const{
   
   
        return Point(x + B.x, y + B.y);
    }
    Point operator - (const Point &B)const{
   
   
        return Point(x - B.x, y - B.y);
    }
    bool operator < (const Point &B)const{
   
   
        return sgn(x - B.x) < 0 || (sgn(x - B.x) == 0 && sgn(y - B.y) < 0);
    }
    bool operator == (const Point &B)const{
   
   
        return sgn(x - B.x) == 0 && sgn(y - B.y) == 0;
    }
}s[MAXN], ch[MAXN];
typedef Point Vector;
db Cross(Vector A,