Nim游戏初探

规则介绍

• Nim游戏是一种两个人玩的游戏，玩家双方面对一堆硬币(或者石头或者豆粒)。假设有$k\ge 1$堆硬币，每堆分别有$n_1,n_2,n_3...n_k$枚硬币，游戏的目标是取得最后一枚硬币。游戏规则如下
  (1)玩家轮番出场第一个取子的玩家称为1号，第二个玩家称为二号
  (2)当轮到一个玩家取子时，他们都要从选择的硬币堆中至少取走一枚硬币，也就是说拿哪一堆都可以，可以把这一堆硬币都拿走
  当硬币都拿完的时候游戏结束，最后一个拿的玩家获胜
• 现在给定硬币堆数$k$和每堆硬币数量分别为$n_1,n_2...n_k$，假设每步两人都选择最优方案，问1号赢还是2号赢

思路

我们可以考虑最简单的情况

1. 只有一堆硬币，此时1号玩家只需要全部拿走即可，1号获胜
2. 有两堆硬币，设数量分别为$n_1$和$n_2$，如果$n_1=n_2$，假如说1号随便拿，如果我是2号，那么无论1号从哪一堆里面拿多少，我都从另外一堆里面拿走相同数量的硬币，这样我肯定是赢家；那如果$n_1\ne n_2$呢?假如$n_1>n2$，如果我是一号，我要从第一堆里面拿走$n_1-n_2$个，这样两堆又一样了，相当于刚才$n_1=n_2$的情况先手变后手，所以我一定获胜
3. 经过前两个分析，能够感觉到如果堆数之间是平衡的那么1号必败，那么怎么能够得出一般性结论呢？

可以这样考虑

• 将每堆硬币数量转换成一个二进制数，比如三堆硬币数量分别为3，5，8，那么转换为二进制数则分别为
  $$\begin{gathered} 0011 \\ 0101 \\ 1000 \end{gathered}$$
• 我们把每一位分开来看，某一位加一起如果是偶数那么就说这一位是平衡的，如果所有位都是平衡的那么就说这个游戏是平衡的，对于一个平衡的Nim游戏，1号玩家总是失败的，2号玩家总能胜利，因为1号玩家必定使得一个平衡游戏变得不平衡，2号玩家必定能使得1号玩家的不平衡游戏变得平衡
• 用上面这个例子来说明，现在游戏显然是不平衡的，那么1号玩家可以对第三堆进行操作变成下面的情况
  $$\begin{gathered} 0011 \\ 0101 \\ 0110 \end{gathered}$$
• 现在就平衡了，那么2号玩家不管怎么拿，必然使得这个变得不平衡，这样继续拿下去，因为0是平衡的，所以最后拿的一定是1号玩家，也就是说1号玩家必然胜利，那么可以对所有堆的硬币数量进行异或操作，根据异或同出0，异出1的运算法则，如果游戏是平衡的，必然有异或最终结果为0，根据这个思路，可以解决这个问题，具体看下面的例题

例题

Nim模板题

• 如果异或最终结果为0，那么1号失败，否则2号失败

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 100;
const double eps = 1e-6;
int Data[MAXN];
int main(){
    int n, t, x;
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> n;
        cin >> x;
        for(int i=1;i<n;i++){
            cin >> Data[i];
            x ^= Data[i];
        }
        if(x == 0){
            cout << "No" << "\n";
        }else cout << "Yes" << "\n";
    }
    return 0;
}