算法设计与分析3-4 数字三角形问题

最新推荐文章于 2022-04-13 23:25:26 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-13 23:25:26 发布 · 321 阅读

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本文介绍了一种解决51Nod平台上特定问题的方法，通过自顶向下的递归搜索策略来找到最优路径，并利用记忆化搜索提高效率，最后采用动态规划进行优化。

这个问题51Nod上面有可以提交的地方，题目意思很简单，不再仔细分析，自顶向下分析更加容易，所以考虑自顶向下求解，
首先考虑搜索，从最顶上开始搜索它下面紧挨着的两个位置，递归搜索求取最大值，程序如下

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 100;
const double eps = 1e-6;
int Data[MAXN];
int tower[1000][1000];
int dp[1000][1000];
int ans;
int dfs(int x, int y, int n){
    if(x == n){
        return tower[x][y];
    }
    return tower[x][y] + max(dfs(x + 1, y, n), dfs(x + 1, y + 1, n));
}
int main(){
    // freopen("input.txt", "r", stdin);
    // freopen("output.txt", "w", stdout);
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin >> tower[i][j];
        }
    }
    cout << dfs(1, 1, n);
    return 0;
}

在n比较大的时候时间很慢，考虑记忆化搜索，用数组存一下

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 100;
const double eps = 1e-6;
int Data[MAXN];
int tower[1000][1000];
int dp[1000][1000];
int ans;
int dfs(int x, int y, int n){
    if(dp[x][y]) return dp[x][y];
    if(x == n){
        return tower[x][y];
    }
    return dp[x][y] = tower[x][y] + max(dfs(x + 1, y, n), dfs(x + 1, y + 1, n));
}
int main(){
    // freopen("input.txt", "r", stdin);
    // freopen("output.txt", "w", stdout);
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin >> tower[i][j];
        }
    }
    cout << dfs(1, 1, n);
    return 0;
}

时间就很好了

上面是递归的方法，现在考虑递推， $d p [i] [j]$ 可以从 $d p [i - 1] [j]$ 和 $d p [i - 1] [j - 1]$ 两个方向转移过来，取最大值不断更新即可

#include <iostream>
using namespace std;
int tower[505][505];
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin >> tower[i][j];
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            tower[i][j] += max(tower[i - 1][j], tower[i - 1][j - 1]);
            ans = max(ans, tower[i][j]);
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}