《趣学算法》附录A 特征方程和通项公式

最新推荐文章于 2023-03-21 14:46:36 发布
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本文介绍了特征方程和通项公式在解决数列问题中的应用，特别是针对斐波那契数列。通过解特征方程找到通项公式，揭示了指数级增长的算法效率问题。对于线性数列，通过建立特征方程求解通项，展示了如何利用等比数列公式得出最终的通项表达式。

当n>2时：F(n)即，它的特征方程为：

求解得：

，

那么F(n)的通项公式为：

斐波那契数列中

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《趣学算法》附录B sort函数
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《趣学算法》前言
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斐波那契数列和通项公式
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斐波那契数列是一种特殊的整数序列，在数学领域有着广泛的应用。此数列的特点是从第三项起每一项都等于前两项之和。 ### 定义与历史背景 斐波那契数列得名于意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）。他在自己的著作《计算之书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题，从而引出了这一数列的概念。最经典的斐波那契数列从0和1开始，后续各项依次为： $$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$$ ### 通项公式 对于第$n$项的斐波那契数$f_n$，存在多种方式来定义或计算它。一种直接的方式是使用递推关系式： 当$n \geq 2$, 则有: $$f_n = f_{n-1} + f_{n-2},\quad 其中 f_0 = 0,\; f_1 = 1.$$ 此外，还有闭形式的表达——比奈公式(Binet's formula)，用于非负整数$n$： $$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n-\psi^n\right),$$ 其中$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 是黄金比例，而 $\psi=-\frac{1}{\phi}=1-\phi$. 这个公式提供了一种不依赖于先前值就能直接计算任意一项的方法。 ### 计算方法 除了利用上述两种主要的方式来确定斐波那契数外，还可以采用矩阵快速幂等高效算法来进行大范围内的数值计算。这些高级技巧通常应用于计算机科学领域，特别是在编程竞赛或者大数据处理场景下优化性能表现。 为了更深入地理解斐波那契数列以及如何应用不同的计算策略解决问题，建议参考相关的学术文献或是参与在线课程学习更多细节。
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