13、量子近似优化算法（QAOA）详解

量子近似优化算法（QAOA）详解

1. 算法概述

量子近似优化算法（QAOA）是一种优化算法，它借鉴了绝热量子计算（AQC）和变分量子特征求解器（VQE）两种优化算法的思想。从AQC中，它借用了通过将目标函数编码到问题哈密顿量中，然后演化系统，使最终哈密顿量的基态以位串形式提供解决方案的概念；从VQE中，它借用了应用于参数化量子电路的变分原理。简单来说，QAOA是一种门模型版本的优化求解器，原本可以用模拟AQC方法解决的问题也可以用它来处理，也可以看作是具有哈密顿量形式约束的VQE的特殊情况。

QAOA在金融领域有许多应用测试，如投资组合再平衡实验、使用条件风险价值（CVaR）作为目标函数等，具有很大的潜力，有望成为量子计算在金融应用中的标准工具。

2. 时间演化

量子力学系统的动力学由薛定谔方程描述：
[i\hbar\frac{d|\psi(t)\rangle}{dt} = H|\psi(t)\rangle]
其中，(|\psi(t)\rangle) 是时间 (t) 时的量子态，(H) 是与时间无关的哈密顿量。其解为：
[|\psi(t)\rangle = U(0, t)|\psi(0)\rangle]
其中，(U(0, t) = \exp\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right))。当 (\hbar = 1) 时，系统动力学为：
[|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle]

然而，AQC使用的是与时间相关的哈密顿量：
[H(t) = \left(1 - \frac{t}{T}\right)H_0 + \frac{