31、计算中的不可行性与不可判定性：对软件开发的影响

计算中的不可行性与不可判定性：对软件开发的影响

1. 引言

在软件开发中，算法复杂度理论有时会表明某个问题无法解决，这种情况通常不受欢迎。为了更清楚地理解其实际意义，我们需要探讨计算中“不可能”的各个方面。

首先，要明确“不可能”的具体所指。当讨论问题时，我们常将一般问题和特定实例混为一谈。在探讨“不可能”时，区分这两者很重要，原因如下：
- 特定问题实例总有确定答案。例如，判断两个上下文无关文法是否生成相同语言，虽然一般问题不可判定，但对于任意两个特定文法，答案必然是“是”或“否”。可判定性关注的是在所有可能实例中如何获取答案。
- 对于特定实例，即便有算法解决方案，讨论其求解复杂度也无意义。问题复杂度是输入度量的函数，特定实例输入度量是常数，求解该实例的计算复杂度也是常数。因此，计算复杂度只能反映求解所有实例所需的努力。

其次，计算中的“不可能”有两种类型：
- 不可判定性 ：若能证明不存在解决某问题的算法，则该问题不可判定。这与通常因缺乏努力或成功而无法解决问题不同，不可判定性表明无论现在还是未来都不存在解决方案。
- 不可行性 ：当问题复杂度过高，解决问题可能需要超出我们可用的时间，但这并不意味着永远无法获得解决方案。例如，输入度量很小时，即使复杂度函数很大，该实例的值可能相对较小。而且，最坏情况复杂度下，非最坏情况实例可能花费更少时间和精力。

最后，某些情况下找到最优解困难，但最优性并非总是必要的。好的解决方案可能完全可以接受，这催生了针对难题的启发式和近似算法。

2. 不可判定性

若能从数学