8、算法复杂度分析的基础假设

算法复杂度分析的基础假设

在算法复杂度分析中，存在一些基础假设，这些假设极大地简化了算法性能指标的确定过程。以下将详细介绍这些假设及其影响。

1. 语句计数的基本假设

在开发操作或语句计数理论时，我们默认所有语句的复杂度具有可比性，但这背后隐藏着许多棘手问题。首先要明确哪些操作可被视为原子操作，这与内存访问的随机访问属性密切相关。

原子操作在不同复杂度概念（位复杂度和字复杂度）下有不同定义。在位复杂度中，原子操作涉及操作数的单个位；在字复杂度中，操作则针对整个字。例如，比较两个整数，字复杂度下为 O(1)，但在位复杂度下，若整数有 m 位，则为 O(m)。

对于语句，只要包含固定数量的原子操作，操作和语句在复杂度上（常数因子范围内）就是等价的。例如，“X := 2*X + 1” 包含一次乘法、一次加法和一次赋值，这些基本算术操作在时间要求上具有可比性。

内存访问方面，主内存具有随机访问属性（RAP），即任何单元都有唯一索引，访问时间与索引值无关。简单变量在主内存中的访问符合这一范式，可视为原子操作。但并非所有数据结构都能保留 RAP，如线性列表，访问第 50 个元素需依次访问前 49 个元素，访问最后一个元素的时间与列表大小成正比。

多维数组在适当映射到内存空间时能保留 RAP。常见的映射方式有行主序和列主序。以行主序为例，对于 k 维数组 A，其元素的索引计算虽最初复杂度为 O(k²)，但优化后可达到 O(k)。由于 k 不影响数组大小，可视为常数，因此行主序和列主序都能保留主内存的随机访问属性，k 维数组也具备 RAP。

对于语句 “C[i,j] := C[i,j] + A[i,k]*B[k,j]