7、算法复杂度的基本假设剖析

算法复杂度的基本假设剖析

1. 引言

在算法性能分析的过程中，我们此前建立了一个概念框架。但在此过程中，我们回避了一些对顺利开展分析至关重要的问题和假设。现在有必要深入探讨这些假设。很多假设都与某种形式的一致性有关，比如操作计数方式的一致性、内存访问的一致性以及数学恒等式有效性的一致性。同时，我们也会重新审视确定复杂度所得到的函数的渐近性质。

2. 语句计数中的内在假设

在发展操作或语句计数理论时，我们首先需假定所有语句的复杂度具有可比性，但这掩盖了一些棘手问题。

2.1 原子操作的定义

我们引入了位复杂度和字复杂度两个概念，这让原子操作的定义变得有些模糊。
- 位复杂度中的原子操作 ：涉及操作数的单个位的操作。通常操作是二元的，涉及两个操作数各一位，但也有一元操作（如取反）和多操作数操作。原子操作的操作数数量是固定的。
- 字复杂度中的原子操作 ：操作作用于操作数的一个字。不同架构的字长不同，如16位、32位、64位等。在字复杂度中，一个数的存储空间被视为一个字，对这样的字进行原子操作假定耗时为一个单位。

例如，比较两个字（数），在字复杂度下耗时一个单位，在位复杂度下若字长为m，则耗时m个单位。乘法等操作的差异更大。所以，操作的原子性取决于所处的复杂度上下文（位或字复杂度）。

像二维矩阵相加操作，在两种复杂度规则下都不是原子操作。若两个矩阵大小为[1:n,1:n]，字复杂度下时间复杂度为O(n²)，位复杂度下还需考虑标量长度m，时间复杂度变为O(m·n²)，且m通常依赖于n，不是常数。