22、高效计算亏格2超椭圆曲线2D1 + D2的显式公式

高效计算亏格2超椭圆曲线2D1 + D2的显式公式

1. 引言

在亏格2超椭圆曲线（HEC）的计算中，高效计算 $2D_1 + D_2$ 是一个重要的问题。本文将介绍在最常见情况下计算 $2D_1 + D_2$ 的高效显式公式，以及这些公式在NAF标量乘法中的应用和性能分析。

2. 最常见情况下的显式公式

在最常见的情况下，$U_1$、$U_2$ 和 $U’$ 是二次多项式，并且 $\gcd (U_1, U_2) = \gcd (U_1, U’) = 1$。通过对Harley变体的仔细研究，我们得到了一个重要的引理，该引理可以显著加速 $2D_1 + D_2$ 的计算。

引理1 ：设 $C$ 是由方程 $Y^2 = F(X)$ 定义的亏格2超椭圆曲线，$D_1 = [U_1, V_1]$，$D_2 = [U_2, V_2]$ 和 $D’ = [U’, V’] = D_1 + D_2$ 是 $C$ 的Jacobian $JC(F_q)$ 中的约化除子类，且满足 $U_1$、$U_2$ 和 $U’$ 是二次多项式，$\gcd (U_1, U_2) = \gcd (U_1, U’) = 1$。设 $S$ 和 $S’$ 满足同余关系：$S \equiv \frac{V_2 - V_1}{U_1} \mod U_2$ 和 $S’ \equiv \frac{V’ - V_1}{U_1} \mod U’$，则有 $S’ \equiv -S - \frac{2V_1}{U_1} \mod U’$。

证明 ：从Harley变体可知，$V’ \equiv -(SU_1 + V_1)