7、最短路径与最大流算法深度解析

最短路径与最大流算法深度解析

在图论与算法领域，最短路径和最大流问题是至关重要的研究方向，它们在诸多实际场景中都有广泛应用。接下来，我们将深入探讨相关的算法及其应用。

1. 全对最短路径算法

首先介绍的是全对最短路径算法（Allpairs.py），其代码如下：

def Allpairs(A):
    n = len(A)
    B = A
    for l in range(n-2):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                B[i,j] = min(B[i,:] + A[:,j])
    return B

该算法的核心思想是通过多次迭代，逐步计算出所有顶点对之间的最短路径长度。对于一个不包含负长度有向回路的有向图，此算法能够计算出所有顶点对 u, v 之间最短 u-v 路径的长度。其时间复杂度为 $O(|V|^4)$，因为 B ⋊⋉A 操作的工作量与矩阵乘法相当，为 $O(|V|^3)$，而整个算法需要进行 $|V| - 2$ 次迭代。

此外，如果对一个具有任意弧权重的有向图运行该算法，当且仅当算法终止后有 B ⋊⋉A ≠ B 时，该有向图包含负有向回路。

2. Floyd - Warshall 算法

Floyd - Warshall 算法是对上述全对最短路径算法的优化，代码如下： <