6、最短路径问题的算法解析与实践

最短路径问题的算法解析与实践

1. 最短路径问题概述

在实际生活和各种应用场景中，确定加权图中的最短路径是一个常见且重要的问题。经典的组合优化中，最短路径问题主要分为以下几种变体：
- st - path ：给定有向图 (D = (V, A)) 以及弧上的权重函数 (length: A → Z)，对于图中两个特定的顶点 (s, t ∈ V)，找出从 (s) 到 (t) 的最短路径。
- s - paths ：对于图中的一个顶点 (s ∈ V)，找出从 (s) 到图中所有其他顶点 (v ∈ V) 的最短路径。
- distances ：确定图中任意一对顶点 (u, v ∈ V) 之间的最短路径长度，即它们之间的距离。

在处理这些问题时，通常会忽略路径是否存在的问题。若要确保路径存在，可通过添加所有可能的弧并将其长度设为无穷大来实现。虽然 st - path 问题看似最为自然，但由于已知的解决 st - path 问题的方法也能至少部分解决 s - paths 问题（即计算所有从 (s) 出发的路径，遇到顶点 (t) 时停止），因此这里主要关注 s - paths 问题。

在问题定义中使用有向图而非简单地将无向图的每条边替换为两条方向相反但权重相同的弧，是因为在某些应用中弧的权重可能为负。当存在负弧长时，一对负长度的弧会形成负长度的回路，这会使问题变得难以处理，甚至成为 NP 完全问题。不过，仅存在负弧长本身并不会导致类似问题，后续会介绍解决含负弧长问题的方法。综合来看，可将问题分为以下三类：
- 权重均为非负的问题。
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