62、帕累托前沿的误差有界近似方法

帕累托前沿的误差有界近似方法

在多目标优化问题中，寻找帕累托前沿是一个重要的任务。本文将介绍一种用于帕累托前沿的误差有界近似方法，包括问题分析、算法设计以及模拟实验结果。

问题分析

在解决多目标优化问题时，我们首先对成本函数 (u(w)) 进行结构分析，得出了以下两个关键观察结果：
1. 观察结果 1 ：对于任意两个权重 (w^ ) 和 (w’)，有 (u(w^ ) \leq w^ \cdot f(s^ (w’)))。这意味着在权重 (w^ ) 下的最优解成本不会高于在不同权重 (w’) 下的最优解成本。由此可得 (r(w’|w^ ) \geq 0)。
2. 观察结果 2（最优成本的凹性） ：最优成本函数 (u(w)) 是关于 (w) 的凹函数。因为对于每个 (s \in S)，成本 (c(s, w) = w \cdot f(s)) 是关于 (w) 的仿射函数（因此是凹函数），所以 (u(w) = \min_{s \in S} c(s, w)) 是凹函数。

基于观察结果 2，我们得到以下推论：
- 推论 1（最优成本的连续性） ：在假设 1 和假设 2 下，函数 (u(w)) 在 (W) 的内部连续，并且在 (W) 的边界上沿其内部方向连续。
- 推论 2（次梯度最优成本） ：对于任意 (w \in W)，(u(w)) 的次梯度由 (\partial u(w) = f(s^ (w))) 给出，其中 (s^