31、振动与结构屈曲的有限元分析

振动与结构屈曲的有限元分析

在工程领域，振动和结构屈曲是两个重要的研究方向。振动分析有助于了解系统的动态特性，而结构屈曲分析则关乎结构的稳定性。下面将详细介绍扭转振动、梁振动、膜振动以及结构屈曲的相关内容。

1. 扭转振动

扭转振动的运动方程与横向弦振动形式相同，表达式为：
[GJ \frac{\partial^2\theta}{\partial x^2} - \rho J \frac{\partial^2\theta}{\partial t^2} = 0]
其中，(G) 是材料剪切模量，(J) 是横截面极惯性矩，(\rho) 是单位长度的质量密度，(\theta) 是轴的（小）扭转角。轴横截面的转动惯量定义为 (I = \rho J)。扭转刚度矩阵通常包含 (GJ/L \equiv k_t) 这一项，它被称为轴的扭转刚度。

当设备连接到振动系统时，如果设备的质量或转动惯量较大，通常将其视为点质量并连接到单元界面的节点上，即将点质量（或惯量）添加到系统质量矩阵中设备所在节点的对角线上。

例如，对于很长的油井钻柱，末端的“井底钻具组合”（BHA）相对较短但转动惯量很大，常被视为转动惯量的点源，放置在转动惯量矩阵自由端节点的对角线上。

下面给出一个确定圆形垂直轴扭转振动固有频率的 Matlab 脚本示例（Torsional Vib BHA L3.m）：

% 此脚本手动设置来自已发表研究的数据，该研究有精确的解析解
% 利用两个三节点二次线单元，网格中有五个节点
% 使用 Matlab 的 eig 函数求解特征问题方程