33、基于格拉姆矩阵的可观测状态与最优轨迹研究

基于格拉姆矩阵的可观测状态与最优轨迹研究

1. 研究背景与目标

在海洋机器人导航领域，最优传感器放置是一个关键问题，它对于准确估计目标的导航数据至关重要。此前的模拟研究聚焦于特定范围内估计误差的均值和方差，结果显示，在计算得出的范围内，均值和方差达到最小值。对于目标处于恒定已知深度的估计场景，可以计算出目标位置表面周围的最优半径，用于放置参考对象（RO）。接下来，我们将采用不同的方法，基于可观测性格拉姆矩阵来获取最优传感器放置的信息，并进一步探讨为单个 RO 寻找最优轨迹的问题。

2. 多 RO 系统中不同系统状态的可观测性检查

2.1 任务场景与建模

我们对一个在圆形轨迹上移动的海洋机器人（目标）进行二维分析。最多四个参考对象（RO）被放置在指定位置并保持静止。目标采用基于随机游走与恒定转弯率（RWCTR）的运动学模型，但由于该非线性系统矩阵仅具有边缘稳定性，我们忽略了过程噪声，并引入了两个由 P 控制器设置的速度和航向输入。目标模型的结构如下：
[
\mathbf{x}(k + 1) = \overline{\mathbf{F}}(\mathbf{x}(k))\mathbf{x}(k) + \mathbf{B}\mathbf{u}(k)
]
其中：
[
\overline{\mathbf{F}}(\mathbf{x}(k)) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & t_{step} \cdot \cos \chi_0(k) & 0 & 0 \
0 & 1 & t_{step} \cdot \sin \