4、代数理论：从基础概念到模型分析

代数理论：从基础概念到模型分析

1. 引言

在逻辑与数学的领域中，等式理论（equational theory）本身最初是没有实际意义的。为了赋予其意义，我们引入了代数（algebra）的概念。代数为等式理论提供了语义解释，使得等式理论中的符号和方程有了实际的对应和含义。

2. 代数的基本概念

• 代数的定义 ：代数 /A 由元素集合 A 以及 A 中的常量和定义在 A 上的函数组成。集合 A 被称为代数 /A 的全域、域或承载集。
  • 布尔代数示例 ：结构 B = (B, ∧, ¬, true) 是布尔代数，其中 B = {true, false} ， true 是常量， ¬ 是布尔值的一元否定函数， ∧ 是布尔值的二元合取函数，这些函数通常由真值表定义。
  • 自然数代数示例 ：结构 N = (N, +, ×, succ, 0) 是自然数代数，其中 N = {0, 1, 2, ...} ， succ 是一元后继函数， + 和 ×