5、向量代数与质心惯性矩相关知识解析

向量代数与质心惯性矩相关知识解析

1. 行列式与向量代数问题

在向量代数中，行列式是一个重要的概念。对于一个 3×3 的矩阵 A，其行列式可以表示为：
[
\det A =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
= \epsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}
= \epsilon_{ijk}a_{i1}a_{j2}a_{k3}
]
这里的 (\epsilon_{ijk}) 是排列符号。

例如，设 A 和 B 是方阵，根据行列式基于排列符号的定义 (\det A = \epsilon_{i_1\cdots i_n}a_{1i_1}\cdots a_{ni_n})，可以证明 (\det(AB) = \det A \det B)，证明过程如下：
[
\begin{align }
\det A \det B &= \det B \det A \
&= \epsilon_{i_1\cdots i_n}b_{1i_1}\cdots b_{ni_n}\epsilon_{j_1\cdots j_n}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n} \
&= \epsilon_{i_1\cdots i_n}\epsilon_{j_1\cdots j_n}b_{1i_1}\cdots