20、数值方法中的马尔可夫链蒙特卡罗方法应用

数值方法中的马尔可夫链蒙特卡罗方法应用

1. 引言

在数值方法中，许多情况下精确的解析解难以获得。例如，在估计未知参数时，需要计算其协方差矩阵来判断估计的准确性，并且常常会从这些未知参数导出其他相关量，它们的协方差矩阵也很重要。然而，当未知参数众多时，计算协方差矩阵的传播会变得非常繁琐。马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，特别是吉布斯采样器（Gibbs Sampler），为解决这些问题提供了有效的途径。

2. 重要加权边际密度估计

当已知一个近似于 $p(x_1|x_2, y, C)$ 的归一化条件密度函数时，可以使用重要加权边际密度估计方法。通过蒙特卡罗积分，可以从公式 (6.133) 计算边际密度函数：
[p(x_1|y, C) = \int_{X_2} p(x_1|x_2, y, C)p(x_2|y, C)dx_2]
这个积分表示 $p(x_1|x_2, y, C)$ 关于密度函数 $p(x_2|y, C)$ 的期望值。由于吉布斯采样器生成的向量 $x_2$ 的值 $x_{2i}$ 具有密度函数 $p(x_2|y, C)$，因此可以通过蒙特卡罗积分 (6.16) 得到该期望值。

3. 用于计算和传播大协方差矩阵的吉布斯采样器

3.1 背景和需求

在估计未知参数时，其协方差矩阵 (3.11) 对于判断估计的准确性至关重要。例如，在通过卫星观测确定地球重力场时，通常将地球引力势展开为球谐函数，其系数为未知参数。估计这些系数的协方差矩阵需要大量的计算，因为需要对法方程矩阵进行求逆运算。此外，还会从这些球谐系数导出其他量，如网格重力异常、大地水准面起伏或地转速度等，它们的协方差矩阵也需要计算