9、已知方差因子的线性模型相关理论与方法

已知方差因子的线性模型相关理论与方法

1. 置信超椭球与假设检验

对于参数 $\beta$，其 $1 - \alpha$ 置信超椭球具有超椭球形状，根据公式可得：
[(\beta - \mu_0)’X’PX(\beta - \mu_0)/\sigma^2 = \chi^2_{1 - \alpha;u}]
其中，$\chi^2_{1 - \alpha;u}$ 表示自由度为 $u$ 的 $\chi^2$ 分布的上 $\alpha$ 分位点。置信超椭球的轴及其方向可按照相关公式确定。

利用 $\beta$ 的后验正态分布，可进行假设检验。例如点原假设：
[H_0 : H\beta = w\quad\text{vs}\quad H_1 : H\beta \neq w]
其中，$H$ 是 $r \times u$ 矩阵，秩为 $r$ 且 $r < u$。$H\beta$ 的后验分布为：
[H\beta|y \sim N(H\mu_0, \sigma^2H(X’PX)^{-1}H’)]
$H\beta$ 的 $1 - \alpha$ 置信超椭球为：
[(H\beta - H\mu_0)’(H(X’PX)^{-1}H’)^{-1}(H\beta - H\mu_0)/\sigma^2 = \chi^2_{1 - \alpha;r}]
若接受原假设 $H_0$，需满足：
[(H\mu_0 - w)’(H(X’PX)^{-1}H’)^{-1}(H\mu_0 - w)/\sigma^2 < \chi^2_{1 - \alpha;r}]

2. 最小二乘法

观测值 $y$ 包含未知