29、频域补偿器设计：滞后、超前与滞后 - 超前补偿器详解

频域补偿器设计：滞后、超前与滞后 - 超前补偿器详解

在控制系统设计中，补偿器起着至关重要的作用，它能够改善系统的性能，满足各种特定的设计要求。本文将详细介绍滞后补偿器、滞后 - 超前补偿器的原理、设计方法以及性能特点。

滞后补偿器

滞后补偿器是一种常用的补偿器，其电气网络如图所示。

传递函数推导

从图中可知，$Z_1(s) = R_1$，$Z_2(s) = R_2 + \frac{1}{Cs} = \frac{1 + R_2Cs}{Cs}$。网络的传递函数为：
[
\frac{E_o}{E_i} = G_c(s) = \frac{Z_2(s)}{Z_1(s) + Z_2(s)} = \frac{\frac{1 + R_2Cs}{Cs}}{R_1 + \frac{1 + R_2Cs}{Cs}} = \frac{1 + R_2Cs}{1 + (R_1 + R_2)Cs}
]
可表示为时间常数形式：
[
G_c(s) = \frac{1 + \alpha T s}{1 + T s}
]
其中，$\alpha = \frac{R_2}{R_1 + R_2} < 1$，$T = (R_1 + R_2)C$。也可表示为零极点形式：
[
G_c(s) = \alpha\frac{s + z}{s + p}
]
其中，$z = \frac{1}{R_2C}$，$p = \frac{1}{(R_1 + R_2)C}$，且$p = \alpha z$。

伯德图分析

滞后补偿器的伯德图如图所示。选择较小的$\frac{1}{T}$和$\frac{1}{\alpha T}$值，使其更接近原点，从而在较宽的频率范围内提供衰减。

对于某二阶系统的伯德图，未插入补偿器时，增益穿越频率为$\omega_{gc1}$，相位裕度为$\varphi_{m1}$，可能无法满足设计要求。引入滞后补偿器后，相移影响不大，但衰减作用使$G_1(j\omega)$曲线下移，变为$G_2(j\omega)$，增益穿越频率左移至$\omega_{gc2}$。在该频率下，$G_c(j\omega)$的相角贡献可忽略不计，相位裕度从$G_2(j\omega)$的相频曲线估算为$\varphi_{m2}$。

设计步骤

设计滞后补偿器可按以下步骤进行：
1. 确定未补偿系统满足稳态误差要求的$K$值。
2. 确定未补偿系统的相位裕度。若不满足要求，进入步骤 3。
3. 在给定相位裕度基础上，增加约$10^{\circ}$。根据该相位裕度，在伯德图中确定频率，此频率即为增益穿越频率。
4. 将滞后补偿器的零点任意固定在步骤 3 确定的增益穿越频率的十分之一处，使衰减效果移向相位裕度较高的左侧。
5. 在增益穿越频率处，滞后补偿器提供的衰减为$20\log\alpha$ dB，补偿器的幅值为$\alpha$，即$\alpha|G(j\omega_{gc})| = 1$，由此计算$\alpha$。
6. 为使补偿器的零点位于增益穿越频率的十分之一处，有$\frac{1}{\alpha T} = \frac{\omega_{gc}}{10}$，结合已知的$\alpha$和$\omega_{gc}$，计算$T$。
7. 根据步骤 5 和 6 确定的$\alpha$和$T$值，设计滞后补偿器。
8. 绘制补偿后系统的伯德图，验证是否满足要求。若不满足，从步骤 3 开始，增加更多相角，重复上述过程。

以下是几个具体的设计示例：
- 示例 1 ：对于单位反馈控制系统，开环传递函数为$G(s) = \frac{4}{s(1 + 2s)}$，要求获得$38^{\circ}$的相位裕度且不牺牲$K_v$。
- 未补偿系统的增益穿越频率$\omega_{gc} = \sqrt{2}$，相位角为$-161^{\circ}$，相位裕度为$19^{\circ}$。
- 增加$12^{\circ}$后，新的相位角为$-130^{\circ}$，新的增益穿越频率$\omega_{gc} = 0.42$。
- 计算得到$\alpha = 0.137$，$T = 173.8$。
- 补偿器传递函数为$G_c(s) = \frac{1 + 23.8s}{1 + 173.8s}$，补偿后系统的相位裕度为$40^{\circ}$，满足要求。
- 示例 2 ：考虑单位反馈系统，开环传递函数为$G(s) = \frac{K}{s(s + 1)(1 + 0.5s)}$，要求静态速度误差常数$K_v \geq 5 s^{-1}$，相位裕度至少为$38^{\circ}$，增益裕度至少为$10$ dB。
- 确定$K = 5$，未补偿系统的增益穿越频率$\omega_{gc} = 2.2$，相位角为$-204.3^{\circ}$，相位裕度为$-24.3^{\circ}$，系统不稳定。
- 增加$10^{\circ}$后，新的相位角为$-132^{\circ}$，新的增益穿越频率$\omega_{gc} = 0.52$。
- 计算得到$\alpha = 0.121$，$T = 159.0$。
- 补偿器传递函数为$G_c(s) = \frac{1 + 19s}{1 + 159s}$，补偿后系统的相位裕度为$40^{\circ}$，增益裕度为$10.6$ dB，满足要求。
- 示例 3 ：单位反馈系统的开环传递函数为$G(s) = \frac{K}{s(1 + 2s)}$，要求相位裕度为$40^{\circ}$，斜坡输入的稳态误差小于等于$0.2$。
- 确定$K = 5$，未补偿系统的增益穿越频率$\omega_{gc} = 1.6$，相位角为$-162^{\circ}$，相位裕度为$18^{\circ}$。
- 增加$10^{\circ}$后，新的相位角为$-130^{\circ}$，新的增益穿越频率$\omega_{gc} = 0.42$。
- 计算得到$\alpha = 0.11$，$T = 216$。
- 补偿器传递函数为$G_c(s) = \frac{1 + 24s}{1 + 216s}$，补偿后系统的相位裕度为$40^{\circ}$，满足要求。

滞后 - 超前补偿器

超前和滞后补偿器各有优缺点，滞后 - 超前补偿器则能同时发挥两者的优势。

传递函数推导

滞后 - 超前补偿网络如图所示。设$Z_1$为$R_1$和$C_1$的并联组合，$Z_2$为$R_2$和$C_2$的串联组合，则传递函数为：
[
\frac{E_o}{E_i}(s) = G_c(s) = \frac{(1 + \alpha_1 T_1 s)(1 + \alpha_2 T_2 s)}{(1 + T_1 s)(1 + T_2 s)}
]
其中，$\alpha_1 T_1 = R_2 C_2$，$\alpha_2 T_2 = R_1 C_1$，$T_1 + T_2 = R_1 C_1 + R_2 C_2 + R_1 C_2$，$\alpha_1 \alpha_2 = 1$，$\alpha_1 < 1$，$\alpha_2 > 1$。

频率特性分析

该补偿器可分为滞后部分$G_{c1}(s) = \frac{1 + \alpha_1 T_1 s}{1 + T_1 s}$和超前部分$G_{c2}(s) = \frac{1 + \alpha_2 T_2 s}{1 + T_2 s}$。其正弦传递函数为：
[
G_c(j\omega) = \frac{(1 + j\omega\alpha_1 T_1)(1 + j\omega\alpha_2 T_2)}{(1 + j\omega T_1)(1 + j\omega T_2)}
]
幅值和相角分别为：
[
|G_c(j\omega)| = \frac{\sqrt{(1 + \omega^2\alpha_1^2 T_1^2)(1 + \omega^2\alpha_2^2 T_2^2)}}{\sqrt{(1 + \omega^2 T_1^2)(1 + \omega^2 T_2^2)}}
]
[
\angle G_c(j\omega) = \tan^{-1}\omega\alpha_1 T_1 + \tan^{-1}\omega\alpha_2 T_2 - \tan^{-1}\omega T_1 - \tan^{-1}\omega T_2
]

从伯德图可知，高频时的相角贡献主要来自超前网络，滞后网络的相角贡献可忽略不计。最大相角贡献$\varphi_m$出现在$\omega_m$处，$\omega_m$介于$\frac{1}{\alpha_2 T_2}$和$\frac{1}{T_2}$之间。

对于超前部分$G_{c2}(j\omega)$，其幅值和相角分别为：
[
|G_{c2}(j\omega)| = \frac{\sqrt{1 + \omega^2\alpha_2^2 T_2^2}}{\sqrt{1 + \omega^2 T_2^2}}
]
[
\theta = \angle G_{c2}(j\omega) = \tan^{-1}\omega\alpha_2 T_2 - \tan^{-1}\omega T_2 = \tan^{-1}\frac{\omega T_2(\alpha_2 - 1)}{1 + \omega^2\alpha_2 T_2^2}
]
最大相角对应的频率为$\omega_m = \frac{1}{T_2\sqrt{\alpha_2}}$，最大相角为$\theta_m = \tan^{-1}(\sqrt{\alpha_2} - \frac{1}{\sqrt{\alpha_2}})$。

设计步骤

设计滞后 - 超前补偿器可按以下步骤进行：
1. 为满足稳态误差要求，确定开环增益$K$，绘制伯德图。
2. 确定未补偿系统的相位裕度，计算补偿器需提供的相角。利用$\alpha_2 = \frac{1 + \sin\theta_m}{1 - \sin\theta_m}$计算$\alpha_2$。
3. 根据$|G(j\omega_{gc})| = \sqrt{\alpha_2}$确定增益穿越频率$\omega_{gc}$，令$\omega_{gc} = \omega_m$，再由$\omega_m = \frac{1}{T_2\sqrt{\alpha_2}}$计算$T_2$，开始设计滞后部分。
4. 利用$\alpha_1\alpha_2 = 1$计算$\alpha_1$。
5. 将滞后部分的零点任意固定在超前部分零点的十分之一处，即$\frac{1}{\alpha_1 T_1} = 0.1\frac{1}{\alpha_2 T_2}$，计算$T_1$，完成滞后部分设计。
6. 绘制补偿后系统的伯德图，验证是否满足要求。若不满足，从步骤 2 开始，调整$\theta_m$，重复上述过程。

示例 ：对于单位反馈控制系统，开环传递函数为$G(s) = \frac{K}{s(s + 2)(s + 20)}$，要求静态速度误差为$0.1$，相位裕度$\varphi_m \geq 50^{\circ}$，增益裕度$G_m \geq 10$ dB。
- 确定$K = 400$，未补偿系统的增益穿越频率$\omega_{gc} = 4.47$，相位角为$-169^{\circ}$，相位裕度为$11^{\circ}$。
- 补偿器需提供的相角$\theta_m = 39^{\circ}$，计算得到$\alpha_2 = 4.4$。
- 计算得到$\omega_{gc} = 2.77$，$T_2 = 0.172$。
- 计算得到$\alpha_1 = 0.227$，$T_1 = 33.33$。
- 补偿器传递函数为$G_c(s) = \frac{(1 + 7.575s)(1 + 0.757s)}{(1 + 33.33s)(1 + 0.172s)}$，补偿后系统的相位裕度为$57^{\circ}$，增益裕度为$16.5$ dB，满足要求。

补偿器性能特点总结

补偿器类型	优点	缺点
超前补偿器	增加增益穿越频率处的相角，改善相位裕度，提高系统阻尼，加快瞬态响应，增加带宽和相对稳定性	无法校正稳态误差，引入高频噪声，需昂贵的放大器，单级补偿器相角有限
滞后补偿器	在增益穿越频率处提供衰减，改善相位裕度	对高频信号有较大衰减，可能影响系统响应速度
滞后 - 超前补偿器	结合了超前和滞后补偿器的优点，既能改善相位裕度，又能在一定程度上校正稳态误差	设计相对复杂

通过合理选择和设计补偿器，可以有效改善控制系统的性能，满足各种实际应用的需求。在实际设计中，需要根据具体要求和系统特性，综合考虑各种因素，选择最合适的补偿器类型和参数。

频域补偿器设计：滞后、超前与滞后 - 超前补偿器详解（续）

补偿器设计的深入理解与实际应用考量

滞后补偿器设计的关键要点

在滞后补偿器的设计过程中，有几个关键要点需要深入理解。首先，步骤 3 中增加约$10^{\circ}$的相角是一个经验值，其目的是为了补偿滞后补偿器在实际应用中可能产生的相角损失。这个值并非固定不变，在实际设计中，可以根据系统的具体情况进行适当调整。例如，如果系统对相位裕度的要求非常严格，或者系统的动态特性较为复杂，可能需要增加更多的相角。

其次，步骤 4 中将滞后补偿器的零点固定在增益穿越频率的十分之一处，这是为了将衰减效果移向相位裕度较高的低频区域。这样做的好处是可以在不显著影响系统相位的情况下，降低系统的增益，从而提高相位裕度。但在某些情况下，如果系统的低频特性已经满足要求，而高频特性需要改善，也可以根据实际情况调整零点的位置。

另外，在计算$\alpha$和$T$时，需要注意公式的正确使用。$\alpha|G(j\omega_{gc})| = 1$和$\frac{1}{\alpha T} = \frac{\omega_{gc}}{10}$这两个公式是基于滞后补偿器的传递函数推导出来的，它们是设计滞后补偿器的关键公式。在实际计算中，需要准确计算$|G(j\omega_{gc})|$的值，以确保$\alpha$和$T$的计算结果准确无误。

滞后 - 超前补偿器设计的难点与解决方案

滞后 - 超前补偿器的设计相对复杂，其中一个难点在于确定$\alpha_2$和$T_2$的值。在步骤 2 中，利用$\alpha_2 = \frac{1 + \sin\theta_m}{1 - \sin\theta_m}$计算$\alpha_2$时，需要准确计算补偿器需提供的相角$\theta_m$。这个相角的计算需要考虑未补偿系统的相位裕度以及系统对相位裕度的要求。在实际计算中，可以通过绘制未补偿系统的伯德图，直观地观察相位裕度的情况，从而确定$\theta_m$的值。

步骤 3 中，根据$|G(j\omega_{gc})| = \sqrt{\alpha_2}$确定增益穿越频率$\omega_{gc}$，并令$\omega_{gc} = \omega_m$，再由$\omega_m = \frac{1}{T_2\sqrt{\alpha_2}}$计算$T_2$。这个过程需要进行多次迭代计算，因为$|G(j\omega_{gc})|$的值与$\omega_{gc}$有关，而$\omega_{gc}$又与$\alpha_2$和$T_2$有关。在实际计算中，可以采用数值计算方法，如牛顿迭代法，来提高计算效率和准确性。

另外，步骤 5 中将滞后部分的零点固定在超前部分零点的十分之一处，这也是一个经验性的做法。在实际设计中，如果系统的特性不适合这种固定方式，可以根据系统的具体情况进行调整。例如，如果系统的高频特性对相位裕度的影响较大，可以适当提高滞后部分零点的位置，以增强超前部分的作用。

补偿器设计的流程图

下面是滞后补偿器和滞后 - 超前补偿器设计的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[确定未补偿系统K值] --> B[确定未补偿系统相位裕度];
    B -- 满足要求 --> C[结束];
    B -- 不满足要求 --> D[增加相角确定增益穿越频率];
    D --> E[固定零点位置];
    E --> F[计算α];
    F --> G[计算T];
    G --> H[设计滞后补偿器];
    H --> I[绘制补偿后伯德图];
    I -- 满足要求 --> C;
    I -- 不满足要求 --> D;

    J[确定开环增益K并绘制伯德图] --> K[确定未补偿系统相位裕度];
    K --> L[计算补偿器相角并计算α2];
    L --> M[确定增益穿越频率ωgc并计算T2];
    M --> N[计算α1];
    N --> O[固定滞后部分零点计算T1];
    O --> P[设计滞后 - 超前补偿器];
    P --> Q[绘制补偿后伯德图];
    Q -- 满足要求 --> R[结束];
    Q -- 不满足要求 --> L;

不同补偿器性能对比表格

为了更直观地对比超前、滞后和滞后 - 超前补偿器的性能，下面给出一个详细的表格：
|补偿器类型|相位裕度改善|稳态误差校正|高频噪声影响|系统响应速度|设计复杂度|成本|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|超前补偿器|显著增加|无法校正|引入高频噪声|加快|较低|较高（需放大器）|
|滞后补偿器|适度增加|有一定改善|减少高频噪声|可能减慢|较低|较低|
|滞后 - 超前补偿器|显著增加|较好改善|相对较小|适中|较高|适中|

实际应用案例分析

在实际的控制系统设计中，不同类型的补偿器有着不同的应用场景。例如，在一个电机控制系统中，如果系统需要快速响应外界信号的变化，同时对相位裕度有较高的要求，那么可以选择超前补偿器。因为超前补偿器可以增加增益穿越频率处的相角，提高系统的阻尼，加快瞬态响应。但需要注意的是，由于超前补偿器会引入高频噪声，可能需要在系统中增加滤波器来减少噪声的影响。

如果系统对稳态误差有较高的要求，而对响应速度的要求不是特别严格，那么可以选择滞后补偿器。滞后补偿器可以在增益穿越频率处提供衰减，改善相位裕度，同时对稳态误差有一定的改善作用。但由于滞后补偿器对高频信号有较大的衰减，可能会影响系统的响应速度，因此在设计时需要权衡利弊。

对于一些复杂的控制系统，如航空航天领域的飞行控制系统，需要同时满足快速响应、高相位裕度和低稳态误差的要求，那么滞后 - 超前补偿器就是一个很好的选择。滞后 - 超前补偿器结合了超前和滞后补偿器的优点，既能改善相位裕度，又能在一定程度上校正稳态误差。但由于其设计相对复杂，需要进行更多的计算和调试工作。

总结与展望

通过本文的介绍，我们详细了解了滞后补偿器、滞后 - 超前补偿器的原理、设计方法以及性能特点。在控制系统设计中，合理选择和设计补偿器是提高系统性能的关键。不同类型的补偿器有着不同的优缺点，在实际应用中需要根据系统的具体要求和特性进行综合考虑。

未来，随着控制系统的不断发展和复杂化，对补偿器的性能和设计方法提出了更高的要求。例如，在智能控制系统中，需要补偿器能够自适应地调整参数，以适应系统的动态变化。另外，随着计算机技术的不断进步，利用先进的数值计算方法和优化算法来设计补偿器将成为未来的发展趋势。我们可以期待在未来的控制系统设计中，补偿器将发挥更加重要的作用，为各种实际应用提供更加可靠和高效的解决方案。