26、根轨迹分析方法详解

根轨迹分析方法详解

1. 引言

在之前的讨论中，线性系统的稳定性和相对稳定性在时域和频域中都有涉及。在时域方法里，可通过调整系统增益来改善系统的稳定性和相对稳定性。对于线性时不变系统，若其特征方程的所有根都位于左半平面（LHP），则该系统具有绝对稳定性。而且，当这些位于LHP的极点离复平面的虚轴越远时，系统的相对稳定性就越高。

在频域方面，利用奈奎斯特稳定性判据可讨论系统的绝对稳定性，借助伯德图和尼科尔斯图则能探讨系统的相对稳定性。然而，这些方法无法提供闭环系统精确的根位置信息，而这些信息对于时域指标的确定十分有用。

当系统增益变化时，仔细研究特征方程根的轨迹，能像之前讨论的其他方法一样，提供关于绝对和相对稳定性的所有信息，同时还能给出闭环系统精确的根位置。这种方法被称为根轨迹法，闭环极点在s平面上的轨迹就叫做根轨迹。根轨迹是系统参数变化时，特征方程在s平面上所描绘出的路径。该方法由W. R. Evans于1948年提出，是一种非常强大的方法，在控制工程分析和设计中被广泛应用。

根轨迹是一种表示系统行为图形信息的方式，它在s平面用于连续时间系统设计、在z平面用于离散时间系统设计时，都是很好的设计工具。虽然根轨迹的概念很简单，但当系统稍微复杂一些时，闭环极点在s平面上的运动就会变得十分复杂。

根轨迹图是在具有实部和虚部坐标的图上绘制s零点和s极点的图形，它表示某个参数变化时传递函数极点位置的曲线。闭环系统特征方程的根随增益从 -∞ 到 ∞ 变化的轨迹，赋予了该方法名称。这种图能清晰显示每个开环极点或零点对闭环极点位置的贡献。构建根轨迹有通用规则，若设计者遵循这些规则，绘制根轨迹就会变得简单。此外，还有简单的MATLAB程序可精确绘制根轨迹，并